ریاضیات

کران‌های طول و قضایای مدول‌های تجزیه‌ناپذیر

قضیه ۶.۵: برای یک جبر آرتین Λ، فرض کنید n یک عدد صحیح مثبت باشد به طوری که برای هر مدول چپ یا راست تصویری و تجزیه‌ناپذیر P روی Λ، شرط l(P) ≤ n برقرار باشد. در این صورت برای هر مدول غیرصفر C در mod Λ یا mod Λᵒᵖ داریم:

l(D Tr C) ≤ l(C) · n²

۱. قضیه ۶.۶ (طول هم‌ریختی‌های تجزیه‌ناپذیر)

فرض کنید Λ یک جبر آرتین باشد و n عدد صحیحی باشد که برای هر مدول تصویری راست و چپ تجزیه‌ناپذیر، طول آن حداکثر n باشد. اگر f : A ⟶ B یک هم‌ریختی تجزیه‌ناپذیر باشد:

• اگر A تجزیه‌ناپذیر باشد، آنگاه: l(B) ≤ l(A) · (n² + 1)
• اگر B تجزیه‌ناپذیر باشد، آنگاه: l(A) ≤ l(B) · (n² + 1)

۲. کران برای مقادیر α(Λ)

قضیه ۶.۷: اگر n ماکسیمم طول ایده‌آل‌های راست و چپ تصویری تجزیه‌ناپذیر برای Λ باشد، آنگاه سوپریمم تجزیه‌ها کراندار است:

α(Λ) ≤ (n² + 1)²

قضیه ۶.۸: اگر n طول ماکسیمال از مدول‌های تصویری تجزیه‌ناپذیر در mod Λ و mod Λᵒᵖ باشد، تعداد مدول‌های تجزیه‌ناپذیر B با یک ریخت غیرصفر از هم‌ریختی‌های متوالی به طول m بین B و A با عدد (n² + 1)^{2m} کراندار می‌شود.