ریاضیات

جبر تانسوری و خاصیت عمومی (Universal Property)

مجموعهٔ مسیرهای با طول صفر ∑ e_i عنصر همانی (یکه) را در جبر مسیر k[Q] تولید می‌کند.

۱. ساختار جبر تانسوری

فرض کنید (Σ, V) یک زوج باشد که در آن Σ یک حلقه و V یک (Σ, Σ)-دو مدول (Bimodule) است. توان‌های تانسوری مرتبه n را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

V^{⊗n} = V ⊗_Σ V ⊗_Σ ... ⊗_Σ V    (n مرتبه)

جبر تانسوری حاصل از زوج (Σ, V) که با T(Σ, V) نمایش داده می‌شود، حاصل‌جمع مستقیم تمام این توان‌هاست:

T(Σ, V) = Σ ⊕ V ⊕ V^{⊗2} ⊕ V^{⊗3} ⊕ ...

۲. خاصیت عمومی تانسور (Universal Property)

فرض کنید Σ یک حلقه، V یک دو-مدول و Λ یک حلقهٔ دلخواه باشد. اگر نگاشت‌های f|_Σ : Σ ⟶ Λ یک هم‌ریختی حلقه‌ها بوده و f|_V : V ⟶ Λ یک هم‌ریختی دو-مدولی باشد، آنگاه:

یک هم‌ریختی منحصربه‌فرد از حلقه‌ها مانند f̃ : T(Σ, V) ⟶ Λ وجود دارد به‌طوری که بر روی اجزای اولیه با f منطبق است.