ریاضیات

یک‌به‌یک بودن نگاشت ساختاری و تشکیل جبر kQ

برای هر ترکیب خطی از مسیرها مانند b = ∑ a_i p_i (که در آن a_i ∈ k)، نگاشت خطی به صورت مجموع نگاشت‌ها عمل می‌کند:

f(b) = ∑ a_i f(p_i)

با اعمال نگاشت بر مجموع مسیرهای طول صفر داریم: f(∑ e_i) = 1. همچنین اگر b ≠ 0 باشد، رابطهٔ f(b)(∑ e_i) = b ≠ 0 نتیجه می‌دهد که نگاشت f یک‌به‌یک (تک‌ریختی) است.

۱. زیرجبر بودن تصویر نگاشت

بنابراین نگاشت زیر یک یک‌ریختی فضای برداری است:

f : k[Q] ⟶ Im(f)

چون برای هر دو مسیر p و p' رابطهٔ f(p)f(p') = f(pp') ∈ Im(f) و نیز 1 ∈ Im(f) برقرار است، تصویر این نگاشت یعنی Im(f) یک زیرجبر از فضای خودریختی‌های End_k(k[Q]) می‌باشد.

۲. تعریف حاصل‌ضرب دو مسیر

ضرب دو مسیر p و q در این جبر به صورت وارون نگاشت تصویر تعریف می‌شود:

p · q = f⁻¹( f(p) f(q) )

که برابر است با مسیر مرکب pq در صورتی که انتهای q با ابتدای p برابر باشد (e(q) = s(p))، و در غیر این صورت حاصل برابر با صفر خواهد بود. بدین ترتیب k[Q] یک k-جبر کامل تشکیل می‌دهد.