ریاضیات

طول متناهی Ext-گروه‌ها و قضایای تکمیلی

از Ext¹(-, A₀)، چون A₀ یک همووردی از یک جمع مستقیم است، F دارای طول متناهی ثابت شده است (M → F).

این است تا حدودی هم مطمئن برای Ext¹(-, M) در رسته. به‌وسیلهٔ R-طول از Ext¹(M, M) و آن است که حقیقت دارد که مقدار Ext^m-گروه‌ها هستند R-مدول‌های با طول متناهی برای هر m ≥ 1.

۱. اثبات تکثیر ایزومورفیسم‌های K-گروه‌ها

با توجه به قضایای بیان‌شده، اکنون اثبات آسان در دست است. فرض‌ها و نتايج، تک‌ریختی نگاشت‌های زیر را نشان می‌دهند:

K(A, 𝜙) ⟶ K(A)    و    K(A, 𝜓) ⟶ K(A)

که تک‌ریختی K(A, 𝒪) ⟶ K(A) نشان می‌دهد که 𝜓 از توسیع در A است که شامل همهٔ دنباله‌های تجزیه‌پذیر در A است. این نتیجه اثبات می‌شود.

۲. نظریهٔ اوسلندر-ریتن (Auslander-Reiten Theory)

در بخش 7. THE AUSLANDER-REITEN QUIVER، یک رستهٔ A از نوع در نظر گرفته شده در صفحات قبل وجود دارد. ساختار Q(A) از A، این کوییر (Quiver) نامیده می‌شود. این کوییر ممکن است دربارهٔ قطعات خود اطلاعاتی بدهد که به عنوان یک گراف جهت‌دار، تمایز داده‌شده‌ها را آشکار می‌سازد.