ریاضیات

سری ترکیبی (Composition Series) و طول مدول

۱. سری ترکیبی

زنجیر 0 = B₀ ⊂ B₁ ⊂ ... ⊂ Bₖ = A را یک سری ترکیبی برای مدول A می‌نامند هرگاه امکان ظریف‌تر کردن آن وجود نداشته باشد؛ یعنی به ازای هر i، زیرمدول Bᵢ₋₁ در Bᵢ ماکزیمال باشد.

به عبارت معادل، سری ترکیبی زنجیری است که تمام عوامل آن Bᵢ / Bᵢ₋₁ **مدول‌های ساده** باشند.

۲. مدول از طول متناهی (Module of Finite Length)

یک مدول A را **از طول متناهی** می‌نامند (یا A = 0 باشد یا) هرگاه دارای حداقل یک سری ترکیبی با طول متناهی باشد.

طبق **قضیهٔ ژردن-هولدر (Jordan-Hölder Theorem)**، طول تمامی سری‌های ترکیبی یک مدول متناهی‌طول یکسان است. این طولِ منحصربه‌فرد را با ℓ(A) یا Length(A) نمایش می‌دهند.

۳. خاصیت جمع‌پذیری طول مدول

اگر A ≤ M یک زیرمدول باشد، آن‌گاه M از طول متناهی است اگر و تنها اگر هم A و هم M / A از طول متناهی باشند؛ در این صورت:

ℓ(M) = ℓ(A) + ℓ(M / A)