ریاضیات

مدول خارج‌قسمتی و نگاشت‌های هم‌ریختی

۱. مدول خارج‌قسمتی (Factor / Quotient Module)

فرض کنید C یک زیرمدول از R-مدول راست M باشد. مجموعهٔ هم‌دسته‌های M/C = { m + C | m ∈ M } تحت عمل‌های زیر یک R-مدول راست جدید به نام مدول خارج‌قسمتی تشکیل می‌دهد:

• جمع: (m₁ + C) + (m₂ + C) := (m₁ + m₂) + C
• ضرب اسکالر: (m + C) · r := m · r + C   (به ازای هر r ∈ R)

۲. هم‌ریختی‌های مدولی و دو‌مدولی (Morphisms)

فرض کنید A و B دو مدول راست روی حلقهٔ R باشند. یک نگاشت α : A → B را یک R-هم‌ریختی می‌نامیم هرگاه ساختار جبری مدول را حفظ کند؛ یعنی:

α(a₁ r₁ + a₂ r₂) = α(a₁) r₁ + α(a₂) r₂

همچنین اگر A و B دو‌مدول‌های S-R باشند، نگاشت α : A → B یک هم‌ریختی دو‌مدولی است هرگاه برای هر s₁, s₂ ∈ S، هر a₁, a₂ ∈ A و هر r₁, r₂ ∈ R داشته باشیم:

α(s₁ a₁ r₁ + s₂ a₂ r₂) = s₁ α(a₁) r₁ + s₂ α(a₂) r₂