ریاضیات

جمع مستقیم داخلی و تجزیه‌پذیری مدول‌ها

۱. تعریف جمع مستقیم داخلی

گوییم مدول M برابر جمع مستقیم داخلی خانواده‌ای از زیرمدول‌هایش {Bᵢ}ᵢ∈I است (نمایش: M = ⨁ᵢ∈I Bᵢ) هرگاه دو شرط زیر هم‌زمان برقرار باشد:

1. M = ∑ᵢ∈I Bᵢ   (تولید تمام مدول توسط مجموع زیرمدول‌ها)
2. برای هر j ∈ I داشته باشیم:   Bⱼ ∩ (∑ᵢ≠j Bᵢ) = 0   (استقلال مؤلفه‌ها و اشتراک صفر)

در حالت متناهی می‌نویسیم:   M = B₁ ⊕ B₂ ⊕ ... ⊕ Bₙ.

۲. یکتایی نمایش عناصر

تساوی M = ⨁ Bᵢ معادل است با اینکه هر عنصر x ∈ M را بتوان به فرم یکتا به‌صورت x = ∑ bᵢ (که bᵢ ∈ Bᵢ) نوشت.

۳. مؤلفهٔ مستقیم و مدول تجزیه‌ناپذیر

• مؤلفهٔ مستقیم (Direct Summand): زیرمدول B ≤ M را یک مؤلفهٔ مستقیم از M گویند هرگاه زیرمدولی مانند C ≤ M وجود داشته باشد به‌گونه‌ای که M = B ⊕ C.
• مدول تجزیه‌ناپذیر (Indecomposable Module): مدول غیرصفر M را تجزیه‌ناپذیر نامند هرگاه تنها مؤلفه‌های مستقیم آن 0 و خود M باشند.