ریاضیات

استقلال خطی، پایه‌ها و خاصیت متناهی‌بودن

۱. استقلال خطی (مجموعهٔ آزاد)

زیرمجموعهٔ X از یک مدول M را آزاد (مستقل خطی) می‌نامند هرگاه برای هر تعداد متناهی از اعضای متمایز {x₁, ..., xₘ} ⊆ X، از تساوی:

∑ᵢ₌₁ᵐ xᵢ rᵢ = 0    (که rᵢ ∈ R)

نتیجه شود که تمام ضرایب صفر هستند؛ یعنی r₁ = r₂ = ... = rₘ = 0.

۲. پایهٔ مدول (Basis)

زیرمجموعهٔ X ⊆ M را یک پایه برای مدول M گویند هرگاه هم‌زمان:

• مجموعهٔ مولد M باشد (〈X〉 = M).
• مجموعه‌ای آزاد (مستقل خطی) باشد.

۳. شرط متناهی بودن با پوشش‌های زیرمدولی

یک شرط معادل بسیار مهم برای متناهیاً تولیدشده بودن یک مدول: مدول M متناهیاً تولیدشده است اگر و تنها اگر برای هر خانواده از زیرمدول‌ها مانند {Aᵢ}ᵢ∈I که در آن ∑ᵢ∈I Aᵢ = M، یک زیرمجموعهٔ متناهی I₀ ⊆ I وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

∑ᵢ∈I₀ Aᵢ = M