ریاضیات

مفهوم جبر و زیرمدول‌های تولیدشده

۱. تعریف جبر (Algebra)

یک جبر روی یک حلقهٔ جابه‌جایی K عبارت است از زوج (R, K) به‌طوری‌که:

1. R یک حلقه باشد.
2. K یک حلقهٔ جابه‌جایی باشد.
3. R یک K-مدول راست باشد به‌گونه‌ای که خاصیت سازگاری ضرب برقرار باشد؛ یعنی برای هر r₁, r₂ ∈ R و هر k ∈ K:

   (r₁ · r₂)k = r₁ (r₂ k) = (r₁ k)r₂

۲. زیرمدول تولیدشده توسط یک زیرمجموعه

اگر X زیرمجموعه‌ای از مدول M_R باشد، زیرمدول تولیدشده توسط X را با 〈X〉 نمایش داده و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

〈X〉 = { ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ rᵢ  |  xᵢ ∈ X , rᵢ ∈ R , n ∈ ℕ }     (و اگر X=∅ باشد، برابر صفر است)

این مجموعه، کوچک‌ترین زیرمدول از M است که شامل X می‌باشد.

۳. مدول متناهیاً تولیدشده (Finitely Generated Module)

اگر 〈X〉 = M باشد، X را یک مجموعهٔ مولد برای M می‌نامیم. هرگاه M دارای یک مجموعهٔ مولد متناهی باشد، آن را مدول متناهیاً تولیدشده گویند.