ریاضیات

مفاهیم آغازین مدول‌ها؛ زیرمدول، سادگی و مفاهیم اکسترمال

در ساختار مدول‌ها روی یک حلقهٔ دلخواه R، مفاهیم متعددی در تعمیم فضاهای برداری و نظریهٔ گروه‌ها شکل می‌گیرد:

۱. زیرمدول (Submodule)

فرض کنید M یک R-مدول راست باشد. زیرمجموعهٔ غیرتهی A ⊆ M را یک زیرمدول از M گویند (نمایش: A ≤ M یا A_R ≤ M_R) هرگاه A خود تحت جمع و ضرب اسکالر از راست مدول باشد؛ یعنی:

• تحت تفاضل بسته باشد: برای هر a, b ∈ A داشته باشیم a - b ∈ A.
• تحت ضرب در عناصر حلقه بسته باشد: برای هر a ∈ A و r ∈ R داشته باشیم a · r ∈ A.

۲. مدول دوری (Cyclic Module)

یک R-مدول راست M_R را دوری (تولیدشده توسط یک عضو) می‌نامند هرگاه عضوی مانند m ∈ M وجود داشته باشد به‌گونه‌ای که:

M = mR = { m · r | r ∈ R }

۳. مدول ساده و حلقهٔ ساده (Simple Module & Simple Ring)

• مدول ساده: مدول غیرصفر M را ساده گویند اگر تنها زیرمدول‌های آن، زیرمدول‌های بدیهی باشند؛ یعنی اگر A ≤ M، آن‌گاه A = 0 یا A = M.
• حلقهٔ ساده: حلقهٔ R را ساده گویند هرگاه R ≠ 0 و تنها ایده‌آل‌های دوطرفهٔ آن 0 و خود R باشند.

۴. زیرمدول‌های مینیمال و ماکزیمال

• زیرمدول مینیمال: زیرمدول غیرصفر A ≤ M را مینیمال گویند هرگاه برای هر زیرمدول B ≤ M با شرط B ⊊ A، نتیجه شود B = 0.
• زیرمدول ماکزیمال: زیرمدول حقیقی A ⊊ M را ماکزیمال گویند هرگاه برای هر زیرمدول B ≤ M با شرط A ⊊ B، نتیجه شود B = M.