ریاضیات

ساختار مدول راست و دو‌مدول (Bimodule)

مدول‌ها تعمیم مستقیم فضاهای برداری روی حلقه‌ها هستند که ساختار تقارن و عمل جبری را تعیین می‌کنند.

۱. مدول راست (Right R-Module)

فرض کنید R یک حلقه باشد. یک R-مدول راست، یک گروه آبلی (M, +) است همراه با نگاشت ضرب راست:

M × R ──→ M   ,   (m, r) ↦ m · r

که در شرایط زیر به ازای هر m, m₁, m₂ ∈ M و r, r₁, r₂ ∈ R صدق کند:

1. m(r₁ r₂) = (m r₁) r₂   (شرکت‌پذیری ضرب)
2. m(r₁ + r₂) = m r₁ + m r₂   (توزیع‌پذیری از راست روی جمع اسکالرها)
3. (m₁ + m₂)r = m₁ r + m₂ r   (توزیع‌پذیری از چپ روی جمع مدول)
4. m · 1_R = m   (همانی ضربی)

یک مدول راست را معمولاً به‌صورت M_R نشان می‌دهیم.

۲. دو‌مدول (S-R-Bimodule)

اگر S و R دو حلقه باشند، یک دو‌مدول S-R که آن را با _S M_R نمایش می‌دهیم، ساختاری است که هم‌زمان:

• یک S-مدول چپ باشد.
• یک R-مدول راست باشد.
• شرط اساسی سازگاری و شرکت‌پذیری دوگانه برقرار باشد:

  s(m r) = (s m)r     (به ازای هر s ∈ S, m ∈ M, r ∈ R)