ریاضیات

ریختارهای شکافنده و مفهوم بنیادین «تقریباً شکافنده»

در نظریهٔ نمایش جبر‌ها و نظریهٔ آوسلندر-ریتن (Auslander–Reiten Theory)، مفاهیم شکافندگی جایگاهی کلیدی دارند:

۱. تک‌ریختی و رو‌ریختی شکافنده (Split Mono & Epi)

• تک‌ریختی شکافنده (Split Monomorphism): یک ریختار α : A → B را تک‌ریختی شکافنده گوییم هرگاه ریختاری مانند β : B → A وجود داشته باشد به‌طوری که β ∘ α = 1_A.
• رو‌ریختی شکافنده (Split Epimorphism): یک ریختار β : B → C را رو‌ریختی شکافنده گوییم هرگاه ریختاری مانند γ : C → B وجود داشته باشد به‌طوری که β ∘ γ = 1_C.

۲. ریختار تقریباً شکافندهٔ راست (Right Almost Split)

ریختار f : B → C را یک ریختار تقریباً شکافندهٔ راست (شکافنده همواره راست) گوییم اگر:

1. ریختار f یک رو‌ریختی شکافنده نباشد.
2. برای هر ریختار h : X → C که رو‌ریختی شکافنده نیست، h از میان f فاکتور شود؛ یعنی ریختاری مانند h' : X → B وجود داشته باشد که f ∘ h' = h (مضرب f باشد).

۳. ریختار تقریباً شکافندهٔ چپ (Left Almost Split)

ریختار g : A → B را یک ریختار تقریباً شکافندهٔ چپ (شکافنده همواره چپ) گوییم اگر:

1. ریختار g یک تک‌ریختی شکافنده نباشد.
2. برای هر ریختار h : A → Y که تک‌ریختی شکافنده نیست، ریختاری مانند h' : B → Y وجود داشته باشد به‌طوری که h' ∘ g = h (مضرب g باشد).