ریاضیات

مشبکه‌ها (Lattice)؛ هندسهٔ مجموعه‌های مرتب

در بخش پایانی دفتر یادداشت‌ها، به دنیای ساختارهای مرتب و نظریهٔ مشبکه‌ها وارد می‌شویم.

کران بالا و کران پایین:

فرض کنید (L, ≤) یک مجموعهٔ جزئاً مرتب و A زیرمجموعه‌ای غیرتهی از L باشد:

• کران بالا: عضوی مانند b ∈ L را کران بالای A گویند اگر برای هر a ∈ A داشته باشیم a ≤ b.
• کران پایین: عضوی مانند b ∈ L را کران پایین A گویند اگر برای هر a ∈ A داشته باشیم b ≤ a.
• کوچک‌ترین کران بالا (Supremum / sup): کران بالایی که از تمام کران‌های بالای دیگر کوچک‌تر یا مساوی باشد.
• بزرگ‌ترین کران پایین (Infimum / inf): کران پایینی که از تمام کران‌های پایین دیگر بزرگ‌تر یا مساوی باشد.

تعریف مشبکه (Lattice):

مجموعهٔ جزئاً مرتب (L, ≤) را یک مشبکه (Lattice) می‌نامیم هرگاه برای هر جفت از اعضای آن مانند a, b ∈ L، هم بزرگ‌ترین کران پایین (a ∧ b) و هم کوچک‌ترین کران بالا (a ∨ b) در L وجود داشته باشد.

اگر برای هر زیرمجموعهٔ دلخواه (حتی نامتناهی) از L، کران‌های بالا و پایین موجود باشند، مشبکه را مشبکهٔ کامل (Complete Lattice) می‌نامند.

❦ پایان این جزوه ❦