ریاضیات

اپیمورفیسم و مونومورفیسم؛ تعمیم پوشایی و تک‌تکی در رسته‌ها

در حساب مجموعه‌ها، مفهوم تابع «پوشا» (Surjective) و «تک‌به‌تک» (Injective) بر پایهٔ اعضای مجموعه‌ها تعریف می‌شود. اما در نظریهٔ رسته‌ها که دسترسی مستقیم به اعضای درون اشیا نداریم، این مفاهیم را تنها از طریق رفتار ریختارها با یکدیگر بازتعریف می‌کنیم.

۱. اپیمورفیسم (رو‌ریختی / Epimorphism)

ریختار f : C₁ → C₂ را یک اپیمورفیسم (رو‌ریختی) می‌نامیم هرگاه از راست ساده‌پذیر باشد؛ یعنی برای هر دو ریختار دلخواه g, h : C₂ → C₃:

اگر   g ∘ f = h ∘ f   آن‌گاه   g = h

۲. مونومورفیسم (تک‌ریختی / Monomorphism)

ریختار f : C₁ → C₂ را یک مونومورفیسم (تک‌ریختی) می‌نامیم هرگاه از چپ ساده‌پذیر باشد؛ یعنی برای هر دو ریختار دلخواه g, h : C₀ → C₁:

اگر   f ∘ g = f ∘ h   آن‌گاه   g = h

ویژگی‌های مهم ترکیب ریختارها:

• ترکیب دو مونومورفیسم، خود یک مونومورفیسم است.
• ترکیب دو اپیمورفیسم، خود یک اپیمورفیسم است.
• اگر ترکیب g ∘ f تک‌ریختی باشد، ریختار اول یعنی f حتماً تک‌ریختی است.
• اگر ترکیب g ∘ f رو‌ریختی باشد، ریختار دوم یعنی g حتماً رو‌ریختی است.