ریاضیات

تانگر (فانکتور)؛ نگاشت میان جهان‌های رسته‌ای

اگر دو رستهٔ C و D را دو اقلیم جداگانه فرض کنیم، تانگر (فانکتور) نگاشتی است ساختارنگهدار که میان این دو جهان پل می‌زند. یک تانگر از دو نگاشت تشکیل می‌شود: یکی اشیا را می‌نگارد و دیگری پیکان‌ها (ریختارها) را منتقل می‌کند.

۱. تانگر همورد (Covariant Functor)

تانگری است که جهت پیکان‌ها و ترتیب ترکیب را دقیقاً نگاه می‌دارد:

• هر شیء مانند A در C را به شیئی مانند F(A) در D می‌برد.
• هر ریختار میان A و B را به ریختاری میان F(A) و F(B) تبدیل می‌کند.
• ریختار همانیِ هر شیء به ریختار همانیِ تصویر آن شیء می‌نگارد.
• ترکیب دو ریختار دقیقاً به ترکیب تصاویر آن‌ها در همان ترتیب تبدیل می‌شود: F(βα) = F(β) F(α)

۲. تانگر ناهمورد (Contravariant Functor)

جهان تانگر ناهمورد، جهانی وارونه است! این تانگر جهت پیکان‌ها را معکوس می‌کند و ترتیب ترکیب‌ها را برمی‌گرداند:

• ریختاری از مبدأ A به مقصد B را به ریختاری از مقصد F(B) به مبدأ F(A) می‌فرستد.
• ترکیب دو ریختار به صورت واژگونه عمل می‌کند: F(βα) = F(α) F(β)