ریاضیات

تبدیل طبیعی؛ پل میان دو تانگر

اگر تانگرها را نگاشت‌های میان رسته‌ها بدانیم، تبدیل‌های طبیعی (Natural Transformations) نگاشت‌های میان خودِ تانگرها هستند!

فرض کنید S و T دو تانگر همورد از رستهٔ C به D باشند. یک تبدیل طبیعی مانند α : S → T خانواده‌ای از ریختارها در رستهٔ مقصد D است؛ به‌طوری‌که برای هر شیء C در رستهٔ مبدأ، ریختاری مانند α_C : S(C) → T(C) تعبیر می‌شود.

شرط اساسی طبیعی‌بودن، جابه‌جایی‌پذیری دیاگرام زیر به ازای هر ریختار f : C → C' است:

S(C) ─── α_C ───→ T(C)

│ │

S(f) T(f)

↓ ↓

S(C') ─── α_C' ──→ T(C')

یعنی:   T(f) ∘ α_C = α_C' ∘ S(f)

هرگاه به ازای هر شیء C، ریختار α_C یک ایزومورفیسم (یک‌ریختی) باشد، آن‌گاه α را یک ایزومورفیسم طبیعی (یا تعادل طبیعی) میان دو تانگر می‌نامیم.