ریاضیات

ترکیب پیکان‌ها؛ راهی که راه می‌سازد

فرض کنیم سه شیء A، B و C داریم و دو پیکان

f : A → B

و

g : B → C

در اختیارمان است. چون مقصدِ f با مبدأِ g یکی است، می‌توان این دو را ترکیب کرد و پیکانی از A به C ساخت.

ترکیب را معمولاً با g ∘ f نشان می‌دهیم؛ یعنی نخست f را پیموده‌ایم و سپس g را:

A ──f──→ B ──g──→ C

ترکیب در هر رسته باید قانون مهمی داشته باشد: شرکت‌پذیری. اگر پیکان‌های

f : A → B،

g : B → C

و

h : C → D

قابل ترکیب باشند، آن‌گاه:

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f

این تساوی می‌گوید پرانتزگذاری، نتیجهٔ نهاییِ حرکت را عوض نمی‌کند. می‌توان مسیر را از هر دو سوی ممکن گروه‌بندی کرد؛ مهم آن است که ترتیب خودِ پیکان‌ها حفظ شود.

ترکیب در رسته‌ها همیشه جابه‌جایی‌پذیر نیست. عموماً

g ∘ f

با

f ∘ g

حتی هم‌نوع هم نیست؛ زیرا جهت و مبدأ و مقصد پیکان‌ها در ترکیب نقش اساسی دارند.

بنابراین، در نظریهٔ رسته‌ها باید همواره به دو پرسش توجه کرد: آیا پیکان‌ها قابل ترکیب‌اند؟ و اگر هستند، ترتیب ترکیب آن‌ها چیست؟