ریاضیات

چالشِ نهم: نقاطِ بحرانی و بیشینه و کمینه‌یِ تابعِ ارتفاع رویِ کره

صورتِ مسئله

تابعِ ارتفاع h(x, y, z) = z را رویِ کره‌یِ واحدِ

x² + y² + z² = 1 در نظر بگیرید.

نقاطِ بحرانیِ این تابع را رویِ کره بیابید و مقادیرِ بیشینه و کمینه‌یِ آن را تعیین کنید.

گامِ نخست: مفهومِ نقطه‌یِ بحرانی رویِ منیفلد

رویِ یک منیفلد (مانندِ کره)، نقطه‌یِ بحرانیِ تابعِ h جایی است که گرادیانِ درون‌سطحیِ تابع صفر شود؛ به بیانِ دیگر، در آن نقطه، گرادیانِ سه‌بعدیِ تابع کاملاً در راستایِ بردارِ عمود بر سطح (یا همان بردارِ شعاعیِ کره) قرار گیرد و مؤلفه‌یِ مماسِ آن صفر باشد.

از راهِ دیگر، می‌توانیم از روشِ ضریبِ لاگرانژ استفاده کنیم. تابعِ هدف h(x, y, z) = z و قیدِ ما g(x, y, z) = x² + y² + z² - 1 = 0 است.

گامِ دوم: تشکیلِ دستگاهِ لاگرانژ

شرطِ بحرانی‌بودن این است که گرادیانِ h موازیِ گرادیانِ g باشد:

∇h = λ ∇g

مشتقات را حساب می‌کنیم:

(0, 0, 1) = λ (2x, 2y, 2z)

این تساوی، سه معادله به دست می‌دهد:

1) 2λx = 0

2) 2λy = 0

3) 2λz = 1

گامِ سوم: حلِ معادلات

از معادله‌یِ سوم (2λz = 1) نتیجه می‌شود که λ ≠ 0 و در نتیجه z ≠ 0.

چون λ صفر نیست، از دو معادله‌یِ نخست (2λx = 0 و 2λy = 0) بلافاصله به دست می‌آید که:

x = 0,    y = 0

حال این مقادیر را در معادله‌یِ قید (کره) جایگذاری می‌کنیم:

0² + 0² + z² = 1 ⇒ z² = 1 ⇒ z = ±1

گامِ چهارم: یافتنِ نقاطِ بحرانی و مقادیرِ آن‌ها

بنابراین، دو نقطه‌یِ بحرانی رویِ کره به دست می‌آید:

1) قطبِ شمال: (0, 0, 1) ⇒ h(0, 0, 1) = 1

2) قطبِ جنوب: (0, 0, -1) ⇒ h(0, 0, -1) = -1

نتیجه‌گیری

تابعِ ارتفاعِ h(x, y, z) = z رویِ کره‌یِ واحد دارایِ دو نقطه‌یِ بحرانیِ هندسی است:

• در قطبِ شمال (0, 0, 1)، تابع به مقدارِ بیشینه (1) می‌رسد.
• در قطبِ جنوب (0, 0, -1)، تابع به مقدارِ کمینه (-1) می‌رسد.

از دیدگاهِ شهودی، قطبِ شمال بالاترین نقطه‌یِ کره و قطبِ جنوب پایین‌ترین نقطه‌یِ آن است؛ و در این دو نقطه، صفحاتِ مماس بر کره کاملاً افقی (موازی با صفحه‌یِ xy) هستند، به گونه‌ای که گرادیانِ ارتفاع کاملاً عمود بر سطح و در راستایِ محورِ z قرار می‌گیرد.