ریاضیات

چالشِ هشتم: فضایِ مماسِ استوانه

صورتِ مسئله

استوانه‌یِ واحد را در فضایِ سه‌بعدی با معادله‌یِ x² + y² = 1 در نظر بگیرید.

در نقطه‌یِ p = (1, 0, 2)، فضایِ مماس را بیابید و نشان دهید چرا بردارِ (2x, 2y, 0) در هر نقطه، بر فضایِ مماسِ استوانه عمود است.

گامِ نخست: نگاه به استوانه به مثابه‌یِ یک «تراز»

در هندسه‌یِ منیفلد، هر سطح را می‌توان به‌صورتِ ترازِ یک تابع دید. استوانه‌یِ ما ترازِ تابعِ زیر است:

f(x, y, z) = x² + y² = 1

این تابع، مقدارِ ثابتی دارد؛ پس هر تغییری که رویِ سطحِ استوانه رخ می‌دهد، باید به‌گونه‌ای باشد که مقدارِ f تغییر نکند. این یعنی بردارِ سرعتِ هر منحنی رویِ استوانه، باید بر گرادیانِ این تابع عمود باشد.

گامِ دوم: گرادیان و بردارِ عمود

گرادیانِ تابعِ f، نرخِ تغییراتِ آن در فضا را نشان می‌دهد:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (2x, 2y, 0)

این بردار (2x, 2y, 0) در هر نقطه، جهتِ بیشترین رشدِ تابع است و چون سطحِ ما هم‌تراز (ثابت) است، این بردار دقیقاً بر صفحه‌یِ مماسِ سطح در آن نقطه عمود است.

گامِ سوم: محاسبه در نقطه‌یِ p = (1, 0, 2)

گرادیان را در نقطه‌یِ مشخص‌شده حساب می‌کنیم:

∇f|ₚ = (2(1), 2(0), 0) = (2, 0, 0)

این بردارِ (2, 0, 0)، همان بردارِ عمود بر فضایِ مماس در نقطه‌یِ (1, 0, 2) است.

گامِ چهارم: فضایِ مماس

فضایِ مماس TₚM شاملِ تمامِ بردارهایی چون v = (v₁, v₂, v₃) است که بر بردارِ عمود عمود باشند (یعنی ضربِ داخلی‌شان صفر باشد):

v · (2, 0, 0) = 0 ⇒ 2v₁ = 0 ⇒ v₁ = 0

بنابراین، فضایِ مماس در این نقطه، صفحه‌ای است که مؤلفه‌یِ x در آن صفر است (یعنی v = (0, v₂, v₃)).

نتیجه‌گیری

فضایِ مماسِ استوانه در نقطه‌یِ (1, 0, 2)، صفحه‌ای به معادله‌یِ x = 1 است. این صفحه با دو بُردارِ پایه (0, 1, 0) که در راستایِ دایره‌یِ استوانه است و (0, 0, 1) که در راستایِ ارتفاعِ استوانه است، ساخته می‌شود.

در انتها، زیباییِ استوانه در همین سادگی است؛ بردارِ عمود، تنها در مؤلفه‌هایِ شعاعی تغییر می‌کند و در راستایِ ارتفاع، گویی «بی‌تفاوت» است، چرا که استوانه در ارتفاع، مستقیم و صاف ایستاده است.