چند چالشِ تازه در هندسه‌یِ منیفلد
در چالش‌هایِ پیشین، از فضایِ مماس و قاعده‌یِ زنجیره‌ای گذشتیم، رتبه و ترازهایِ
یک تابع را بررسی کردیم، بسته و دقیق‌بودنِ یک‌فرم را سنجیدیم، و با انتگرالِ مرزی،
مختصاتِ قطبی و فرمِ مساحتِ کره آشنا شدیم. اکنون چند پرسشِ تازه پیشِ رو می‌گذاریم
تا این مسیر از محاسبه به فهمِ هندسی نزدیک‌تر شود.
در این بخش، مسئله‌ها را برایِ تمرین طرح می‌کنیم و حلِ آنها را به پست‌هایِ بعدی
می‌سپاریم.
چالشِ هشتم: فضایِ مماسِ استوانه
استوانه‌یِ واحد را در فضایِ سه‌بعدی در نظر بگیرید:
M = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x² + y² = 1}
در نقطه‌یِ p = (1,0,2)، فضایِ مماسِ استوانه را بیابید.
سپس توضیح دهید که چرا بردارِ قائمِ
(2x, 2y, 0) در هر نقطه‌یِ استوانه، بر فضایِ مماس عمود است.
چالشِ نهم: نقاطِ بحرانی و بیشینه و کمینه
تابعِ ارتفاع را رویِ کره‌یِ واحد بررسی کنید:
h(x,y,z) = z، x² + y² + z² = 1.
نقاطِ بحرانیِ تابعِ h رویِ کره را پیدا کنید و مقدارِ بیشینه و
کمینه‌یِ آن را به دست آورید. راهنمایی: در نقطه‌یِ بحرانی، گرادیانِ تابع بر
فضایِ مماس عمود است.
چالشِ دهم: فرمِ مساحتِ کره‌ای با شعاعِ دلخواه
کره‌ای با شعاعِ R را با پارامتری‌سازیِ زیر در نظر بگیرید:
X(θ,φ) = (R sin θ cos φ، R sin θ sin φ، R cos θ).
عنصرِ مساحت را با محاسبه‌یِ ضربِ خارجیِ دو بردارِ مماس به دست آورید و نشان دهید
که مساحتِ کلِ کره برابرِ 4πR² است.
چالشِ یازدهم: مختصاتِ قطبی و فرمِ زاویه‌ای
رویِ صفحه‌یِ سوراخ‌شده، یعنی صفحه بدونِ مبدأ، یک‌فرمِ زیر را در نظر بگیرید:
α = (−y dx + x dy) / (x² + y²).
نشان دهید که این فرم بسته است. سپس انتگرالِ آن را رویِ دایره‌یِ واحد با جهتِ
پادساعت‌گرد حساب کنید و توضیح دهید چرا این نتیجه نشان می‌دهد که فرم رویِ صفحه‌یِ
سوراخ‌شده دقیق نیست.
چالشِ دوازدهم: فرمِ مساحتِ کره بسته است؛ آیا دقیق هم هست؟
فرمِ مساحتِ کره‌یِ واحد را با نمادِ Ω نشان می‌دهیم. چون کره
دوبعدی است، مشتقِ خارجیِ این فرم رویِ خودِ کره صفر می‌شود و در نتیجه فرم بسته
است.
آیا Ω رویِ تمامِ کره دقیق است؟ برایِ پاسخ، از قضیه‌یِ استوکس
استفاده کنید و انتگرالِ آن را رویِ کره در نظر بگیرید. دقت کنید که کره مرزِ
هیچ ناحیه‌یِ سه‌بعدی‌ای در خودِ کره نیست؛ پس باید استدلال را با دقت و با توجه
به انتگرالِ فرم رویِ کلِ کره پیش ببرید.
جمع‌بندی
این چالش‌ها چند پیوندِ مهم را دنبال می‌کنند: فضایِ مماس با بردارِ قائم،
نقاطِ بحرانی با هندسه‌یِ منیفلد، فرمِ مساحت با اندازه‌گیریِ سطح، و بسته‌بودن
با دقیق‌بودنِ فرم‌ها. پاسخ‌گویی به آنها کمک می‌کند ببینیم مفاهیمِ هندسه‌یِ
منیفلد تنها فرمول‌هایی جدا از هم نیستند؛ بلکه زبان‌هایی‌اند برایِ شرحِ شکل،
تغییر و اندازه در فضا.
پیشنهاد: پیش از خواندنِ پاسخ‌ها، هر چالش را با رسمِ شکل و
نوشتنِ تعریف‌هایِ لازم حل کنید؛ گاهی راهِ شهود، هموارتر از راهِ محاسبه است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.