ریاضیات

چالشِ سوم: رتبه و ترازهایِ تابعِ مجموعِ مربع‌ها

بیانِ مسئله

تابعِ هموارِ زیر را در نظر بگیرید:

f : ℝ² → ℝ,    f(x,y) = x² + y².

رتبه‌یِ دیفرانسیلِ f را در هر نقطه تعیین کنید و مجموعه‌هایِ

ترازِ این تابع را توصیف نمایید.

مقدمات و تعریف‌ها

دیفرانسیلِ یک تابعِ هموار از ℝ² به ℝ

در هر نقطه، نگاشتی خطی از فضایِ مماسِ مبدأ به فضایِ مماسِ مقصد است. با

شناساییِ این فضاهایِ مماس با خودِ فضاهایِ برداری، دیفرانسیلِ

f در نقطه‌یِ (x,y) را می‌توان با

گرادیانِ تابع نمایش داد:

df_(x,y)(u,v) = 2xu + 2yv.

رتبه‌یِ این دیفرانسیل، بُعدِ تصویرِ نگاشتِ خطیِ

df_(x,y) است. چون فضایِ مقصد یک‌بُعدی است،

رتبه تنها می‌تواند صفر یا یک باشد.

واسطه‌یِ نخست: محاسبه‌یِ دیفرانسیل

برایِ به‌دست‌آوردنِ دیفرانسیل، مشتق‌هایِ جزئیِ تابع را محاسبه می‌کنیم:

∂f/∂x = 2x,    ∂f/∂y = 2y.

پس برایِ هر بردارِ (u,v) ∈ ℝ² داریم:

df_(x,y)(u,v) = 2xu + 2yv.

واسطه‌یِ دوم: تعیینِ رتبه

اگر (x,y) ≠ (0,0) باشد، دست‌کم یکی ازِ عددهایِ

2x و 2y ناصفر است. بنابراین

df_(x,y) نگاشتی ناصفر به فضایِ یک‌بُعدیِ

ℝ است؛ در نتیجه رتبه‌یِ آن یک است.

اما در مبدأ، یعنی در نقطه‌یِ (0,0)، داریم:

df_(0,0)(u,v) = 0

   برایِ هر (u,v) ∈ ℝ².

پس دیفرانسیل در مبدأ نگاشتِ صفر است و رتبه‌یِ آن صفر خواهد بود. بنابراین:

rank(df_(x,y)) =

{ 0,   اگر (x,y) = (0,0)؛

   1,   اگر (x,y) ≠ (0,0). }

واسطه‌یِ سوم: مجموعه‌هایِ تراز

برایِ عددِ حقیقیِ c، مجموعه‌یِ ترازِ تابع برابر است با:

f⁻¹(c) = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² = c}.

• اگر c < 0 باشد، مجموعه‌یِ تراز تهی است؛ زیرا

  مجموعِ دو مربع نمی‌تواند منفی باشد.

• اگر c = 0 باشد، مجموعه‌یِ تراز تنها شاملِ مبدأ است:

  {(0,0)}.

• اگر c > 0 باشد، مجموعه‌یِ تراز دایره‌ای به مرکزِ مبدأ

  و شعاعِ √c است.

رابطه با قضیه‌یِ مجموعه‌یِ ترازِ منظم

برایِ هر c > 0، گرادیانِ f رویِ

مجموعه‌یِ ترازِ f⁻¹(c) ناصفر است؛ زیرا نقاطِ

این مجموعه مبدأ نیستند. پس هر یک از این ترازها یک زیرمنیفلدِ هموارِ

یک‌بُعدیِ ℝ² است؛ همان دایره‌یِ موردِ انتظار.

در ترازِ c = 0، نقطه‌یِ مبدأ نقطه‌ای بحرانی است و

دیفرانسیل در آن رتبه‌یِ صفر دارد؛ ازاین‌رو قضیه‌یِ مجموعه‌یِ ترازِ منظم

در آن نقطه قابلِ اعمال نیست.

نتیجه

دیفرانسیلِ تابعِ f(x,y)=x²+y² در همه‌یِ نقاطِ جز مبدأ

رتبه‌یِ یک دارد و در مبدأ رتبه‌یِ آن صفر است. ترازهایِ مثبتِ تابع دایره‌هایی

هموارند؛ ترازِ صفر تنها مبدأ است؛ و برایِ مقدارهایِ منفی، تراز وجود ندارد.