حلِ چالشِ اول: فضایِ مماسِ کره
صورتِ مسئله
کره‌یِ واحدِ n-بُعدی را در فضایِ اقلیدسیِ
Rn+1 به صورتِ زیر تعریف می‌کنیم:
Sn = {x ∈ Rn+1 : 〈x,x〉 = 1}.
ثابت کنید برایِ هر نقطه‌یِ p ∈ Sn، فضایِ مماسِ
کره در آن نقطه برابر است با:
TpSn = {v ∈ Rn+1 : 〈p,v〉 = 0}.
مقدمات و تعریف‌ها
تابعِ هموارِ زیر را در نظر می‌گیریم:
F : Rn+1 → R, F(x) = 〈x,x〉.
کره‌یِ واحد، مجموعه‌یِ ترازِ این تابع در مقدارِ یک است؛ یعنی:
Sn = F−1(1).
طبقِ قضیه‌یِ مجموعه‌یِ ترازِ منظم، اگر دیفرانسیلِ تابع در نقطه‌یِ
p ناصفر باشد، فضایِ مماسِ مجموعه‌یِ تراز در آن نقطه
برابرِ هسته‌یِ دیفرانسیل است:
TpSn = ker(dFp).
واسطه‌ها
برایِ محاسبه‌یِ دیفرانسیلِ F در نقطه‌یِ
p، بردارِ دلخواهِ
v ∈ Rn+1 را در نظر می‌گیریم:
dFp(v)
= (d/dt)|t=0 F(p + tv)
= (d/dt)|t=0 〈p + tv, p + tv〉
= 2〈p,v〉.
چون p ∈ Sn، داریم
〈p,p〉 = 1؛ پس p ≠ 0 و
dFp ≠ 0. بنابراین قضیه‌یِ مجموعه‌یِ ترازِ منظم
قابلِ استفاده است. در نتیجه:
TpSn
= ker(dFp)
= {v ∈ Rn+1 : dFp(v) = 0}
= {v ∈ Rn+1 : 2〈p,v〉 = 0}
= {v ∈ Rn+1 : 〈p,v〉 = 0}.
نتیجه
پس برایِ هر p ∈ Sn، داریم:
TpSn = {v ∈ Rn+1 : 〈p,v〉 = 0}.
به زبانِ هندسی، هر بردارِ مماس بر کره در نقطه‌یِ p
بر بردارِ شعاعیِ همان نقطه عمود است. بنابراین فضایِ مماسِ کره در
p، اَبَرمستویِ گذرنده از مبدأ است که بر شعاعِ
p عمود می‌شود و بُعدِ آن n است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.