پرده‌یِ نهم: اتصال (Connection) و مشتقِ کوواریانت؛ آیینِ پیمایش در فضایِ خمیده
۱. مقدمات و تعاریف
در فضایِ مسطحِ اقلیدسی، جمع کردنِ دو بردار در دو نقطه‌یِ متفاوتِ فضا ساده است؛ چرا که فضایِ تانژانت در همه‌جا یکسان است. اما در یک منیفلدِ خمیده، هر نقطه فضایِ تانژانتِ ویژه‌یِ خود را دارد. چگونه می‌توانیم برداری در نقطه p را با برداری در نقطه q مقایسه کنیم؟
برایِ این کار، نیازمندِ ابزاری هستیم تا «تغییراتِ» یک میدانِ برداری را تعریف کنیم. این ابزار، اتصال (Connection) نام دارد که با نماد ∇ (نِبلا) نشان داده می‌شود و عملگری است که یک میدانِ برداری را به جهتی دیگر می‌برد.
۲. واسطه‌ها: مشتقِ کوواریانت (Covariant Derivative)
مشتقِ کوواریانت ∇XY، نرخِ تغییرِ میدانِ برداری Y را در امتدادِ میدانِ X به ما می‌گوید. این عملگر باید سه شرطِ بنیادین را برآورده سازد تا «اتصال» نامیده شود:
- خطی بودن نسبت به X: تغییراتِ حاصل از دو مسیرِ متفاوت، با هم جمع می‌شوند.
- خطی بودن نسبت به Y: مشتقِ مجموعِ دو میدان، مجموعِ مشتقاتِ آن‌هاست.
- قاعده‌یِ لایبنیتس: تغییرِ حاصل از ضربِ یک تابع در یک میدان، از قاعده‌یِ مشتق‌گیریِ ضرب (تابع ضربدرِ مشتقِ میدان، به‌اضافه‌یِ مشتقِ تابع ضربدرِ خودِ میدان) پیروی می‌کند.
۳. نتایج: انتقالِ موازی و ژئودزیک‌ها
از دلِ این تعریف، نتایجِ شگرفی زاده می‌شود:
- انتقالِ موازی (Parallel Transport): اگر مشتقِ کوواریانتِ یک میدانِ برداری در امتدادِ یک منحنی صفر باشد (∇γ'Y = 0)، آن میدان «موازی» در طولِ مسیر جابه‌جا شده است. این یعنی بردار، «خودش را حفظ کرده» است.
- ژئودزیک‌ها (Geodesics): منحنی‌هایی که شتابِ آنها در اتصالِ ما صفر است (∇γ'γ' = 0)، همان کوتاه‌ترین مسیرهایِ رویِ منیفلد (ژئودزیک‌ها) هستند. آنها، حکمِ «خطِ راست» در فضایِ خمیده را دارند.
- پیوند با متریک: در هندسه‌یِ ریمانی، اتصالِ ویژه‌ای وجود دارد که با تانسورِ متریک سازگار است؛ این اتصال، همان «اتصالِ لوی-چیویتا» (Levi-Civita Connection) است که دنیایِ ریمانی را می‌سازد.
«اتصال، قانونِ راه‌سپاری در غربتِ انحناست. هر جا که برداری تغییر می‌کند، نه از سرِ بی‌نظمی، که به حکمِ شکلِ فضا و قانونِ اتصال است که راهش را باز می‌یابد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.