پردهیِ هفتم: نوایِ فرمهایِ دیفرانسیل؛ ابزارهایِ سنجشِ هندسه
در هندسهیِ منیفلد، ما نیازمندِ ابزاری هستیم تا «مساحت»، «حجم» و «چرخش» را در فضاهایِ خمیده دریابیم. اینجا، «فرمهایِ دیفرانسیل» به صحنه میآیند. هر فرمِ دیفرانسیل که آن را با نماد ω (امگا) نشان میدهیم، گویی ترازویی است که در هر نقطه از فضا، «مقداری» را به ما هدیه میدهد.
عملگرِ مشتقِ خارجی (d)
هرگاه بر پیکرهیِ یک فرم، عملگرِ d (مشتقِ خارجی) بنشیند، آن فرم به مرتبهای بالاتر ارتقا مییابد: dω. این عملگر، همان ندایِ تغییر است. اگر dω = 0 باشد، گویی آن فرم در جایِ خود «بسته» (Closed) است و هیچ تراوشی به بیرون ندارد؛ اما اگر فرمی را بیابیم که خودِ آن مشتقِ فرمِ دیگری باشد (یعنی ω = dη)، آن را «دقیق» (Exact) مینامیم.
در این هندسه، d مسئولیتِ کشفِ «تلاطمهایِ درونی» را بر عهده دارد. هر جا که این عملگر، نتیجهای غیر از صفر داشته باشد، نشان از وجودِ چشمه یا گردابی در ژرفایِ منیفلد است.
«فرمهایِ دیفرانسیل، زبانِ خاموشِ انحنایند. بردارها مسافرانند، اما ω ها، روحِ جاری در این راهها هستند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.