ریاضیات

پرده‌یِ نخست: تبلورِ زیرمنیفلدها در آیینه‌یِ مقدارِ منظم

صورتِ مسئله

فرض کنید F: M → N نگاشتی هموار باشد که M و N به ترتیب منیفلد‌هایی به ابعادِ m و n باشند. اگر نقطه‌یِ q ∈ N یک «مقدارِ منظم» برایِ F باشد، ثابت کنید که پیش‌تصویرِ این نقطه، یعنی مجموعه‌یِ S = F^-1(q)، یک زیرمنیفلدِ تعبیه شده (Embedded Submanifold) از M با بعدِ m - n است.

مقدماتِ استنتاج

برایِ گشودنِ این پرده، به ابزارهایِ زیر تکیه می‌کنیم:

• تعریفِ مقدارِ منظم: نقطه q منظم است اگر برایِ هر نقطه‌یِ p در پیش‌تصویرِ q، نگاشتِ خطیِ دیفرانسیل dF_p : T_pM → T_qN یک نگاشتِ پوشا (Surjective) باشد.
• قضیه‌یِ رتبه (Rank Theorem): این قضیه به ما می‌گوید که در همسایگیِ نقاطِ منظم، نگاشتِ هموار، رفتاری مشابهِ یک نگاشتِ تصویرِ ساده (Projection) دارد.
• معیارِ برش (Slice Criterion): زیرمجموعه‌ای از یک منیفلد، زیرمنیفلدِ تعبیه شده است اگر هر نقطه از آن، دارایِ همسایگی‌ای با مختصاتِ محلی باشد که آن مجموعه را به عنوانِ یک برشِ تخت (Slice) نمایش دهد.

واسطه‌ها (طریقِ استدلال)

1. ابتدا نقطه‌یِ دلخواهی مانندِ p ∈ F^-1(q) اختیار می‌کنیم. چون dF_p پوشاست، رتبه‌یِ نگاشتِ F در این نقطه برابر با n است.
2. به حکمِ «قضیه‌یِ رتبه»، دستگاهِ مختصاتیِ مناسبی (کارت) در اطرافِ p در M و q در N برمی‌گزینیم؛ به گونه‌ای که F در این مختصات، به سادگیِ پرتابِ n مؤلفه‌یِ نخست باشد: (x₁, ..., x_m) ↦ (x₁, ..., x_n).
3. در این مختصات، پیش‌تصویرِ نقطه‌یِ q (که فرض می‌کنیم در مختصاتِ جدید برابرِ (0, ..., 0) باشد) دقیقاً مجموعه‌یِ نقاطی است که n مؤلفه‌یِ اولِ آن‌ها صفر است: x₁ = 0, ..., x_n = 0.
4. این یعنی پیش‌تصویرِ q به صورتِ یک برشِ مسطح در M ظاهر می‌شود که تعریفِ دقیقِ یک زیرمنیفلد است.

نتیجه

چون در هر نقطه از S توانستیم مختصاتِ «برشی» (Slice Coordinates) پیدا کنیم، حکم اثبات شد. S یک زیرمنیفلدِ تعبیه شده از M است و بُعدِ آن دقیقاً تفاوتِ ابعادِ دو منیفلدِ اصلی، یعنی dim(M) - dim(N)، می‌باشد. اینگونه است که هندسه، نظم را از دلِ نگاشت‌ها بیرون می‌کشد.