رقصِ بردارها: از مشتقِ لای تا اتحادِ ژاکوبی
ای رهرویِ وادیِ هندسه؛ در ادامه مباحثِ پیشین، اکنون برایِ آنکه جانِ کلام در فرمول‌هایِ ریاضی گم نشود، آنها را با جهت‌گیریِ درست (چپ‌به‌راست) بازنویسی می‌کنیم تا توازنِ میانِ صورت و معنی برقرار گردد.
یک: مشتقِ لای؛ دگرگونی در بسترِ جریان
گفتیم که مشتقِ لای، تغییرِ یک میدانِ برداری در امتدادِ جریانِ میدانِ دیگر است. این مفهوم را در زبانِ نمادینِ ریاضی، چنین می‌نویسیم:
LXY = [X, Y]
این رابطه یعنی تغییرِ میدانِ Y در مسیرِ میدانِ X، چیزی نیست جز همان «کروشه‌یِ لی» که در ادامه از آن سخن خواهیم گفت.
دو: کروشه‌یِ لی؛ ابزارِ سنجشِ تفاوت
کروشه، تفاوتِ میانِ دو ترتیبِ مختلفِ حرکت است. اگر دو میدانِ X و Y داشته باشیم، کروشه‌یِ آنها چنین تعریف می‌شود:
[X, Y] = X(Y) - Y(X)
سه: اتحادِ ژاکوبی؛ تعادلِ سه‌گانه
و اما برایِ سه میدانِ برداریِ X، Y و Z، اتحادِ ژاکوبی که نشان‌دهنده‌یِ هماهنگیِ مطلق است، به فرمِ زیر است:
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0
این فرمول، سِرِ بقا و تعادل در فضایِ منیفلد است؛ جایی که هیچ میدانی به تنهایی عمل نمی‌کند و همگی در چرخشی ابدی، سکونِ ساختار را تضمین می‌کنند.
«در پناهِ نورِ خرد، همواره پویا باشید.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.