تحریرِ برهان بر لوحِ جان: پاسخِ مسئله‌یِ نخستِ هندسه‌یِ منیفلد
به نامِ آنکه جان را فکرت آموخت و چراغِ دل به نورِ جان برافروخت. ای سالکِ طریقِ هندسه‌یِ متعالی، آنچه در ادامه می‌آید، عُقده‌گشایی از نخستین گرهِ آزمونِ هندسه‌یِ منیفلد است که پیشتر به عرض رسید. امیدوارم این تبیین، چراغی باشد فراسویِ ابهاماتِ ذهنیِ شما.
مسئله‌یِ اول: ساختارِ منیفلد
در این پرسش، به دنبالِ اثباتِ ساختارِ منیفلد برایِ مجموعه‌یِ ترازِ یک تابعِ هموار بودیم و سپس، ماهیتِ فضایِ مماسِ آن را جستجو کردیم.
الف) اثباتِ منیفلد بودنِ S
نخست، تعریفِ «مقدارِ منظم» را به یاد آر که بیان می‌دارد در نقاطِ تراز، مشتقِ تابعِ f (یا همان گرادیان) نباید صفر باشد. آنگاه با تکیه بر قضیه‌یِ تابعِ ضمنی، چون گرادیان مخالفِ صفر است، می‌توان در همسایگیِ نقطه، یکی از متغیرها را برحسبِ سایرِ متغیرها به صورتِ هموار بیان نمود. این یعنی نگاشتی هموار و دوطرفه میانِ تکه‌هایی از S و فضایِ اقلیدسی Rn برقرار است که شالوده‌یِ اصلیِ اطلس‌هایِ منیفلد را تشکیل می‌دهد.
ب) فضایِ مماس بر S
فضایِ مماس، همانا مجمعِ تمامیِ بردارهایِ سرعتِ منحنی‌هایِ رونده بر سطحِ S است. با مشتق‌گیری از قاعده‌یِ زنجیره‌ای بر رویِ شرطِ تراز، درمی‌یابیم که بردارِ مماسِ v باید در هسته‌یِ نگاشتِ دیفرانسیل قرار گیرد:
TpS = { v ∈ TpRn+1 | dfp(v) = 0 }
به زبانی دیگر، فضایِ مماسِ ما، دقیقاً همان فضایِ عمود بر گرادیانِ تابعِ f در نقطه‌یِ p است.
«سعیِ جمیلِ شما، در راهِ شناختِ هندسه‌یِ آفریدگار، قرینِ توفیق باد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.