ریاضیات

۱. پرسش:

گروه S₄ چند زیرگروه نرمال دارد و مرتبه‌یِ هریک چقدر است؟

پاسخ: سه زیرگروه نرمال دارد: ۱) زیرگروهِ بدیهی {e}، ۲) گروه چهارگانه‌یِ کلاین V₄ (مرتبه‌یِ ۴)، ۳) گروه متناوب A₄ (مرتبه‌یِ ۱۲)، و ۴) خودِ S₄.

۲. پرسش:

شرطِ لازم و کافی برایِ اینکه یک ایده‌آلِ M در حلقه‌یِ جابجاییِ R (یکدار)، ایده‌آلِ «ماکسیمال» باشد چیست؟

پاسخ: ایده‌آل M ماکسیمال است اگر و تنها اگر حلقه‌یِ خارج‌قسمتیِ R/M یک «میدان» باشد.

۳. پرسش:

چند عنصرِ از مرتبه‌یِ ۳ در گروهِ S₄ وجود دارد؟

پاسخ: عناصرِ از مرتبه‌یِ ۳ در S₄ همان دورهایِ طولِ ۳ (3-cycles) هستند. تعدادِ این دورها برابر است با (4! / (3 × 1)) = 8 عنصر.

۴. پرسش:

آیا حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌هایِ Z[x] یک دامنه‌یِ ایده‌آلِ اصلی (PID) است؟

پاسخ: خیر، زیرا ایده‌آلِ (2, x) در این حلقه، یک ایده‌آلِ اصلی نیست (توسطِ یک عنصر تولید نمی‌شود)؛ لذا Z[x] دامنه‌یِ ایده‌آلِ اصلی نمی‌باشد.

۵. پرسش:

میدانِ شکافنده‌یِ چندجمله‌ایِ x² + x + 1 رویِ میدانِ Z₂ چیست؟

پاسخ: این چندجمله‌ای رویِ Z₂ تحویل‌ناپذیر است (چون ریشه ندارد). لذا میدانِ شکافنده‌یِ آن همان میدانِ متناهیِ GF(2²) یا Z₂(α) با مرتبه‌یِ ۴ است.