ریاضیات

ای سالکِ طریقِ خرد و طالبِ حقیقتِ اعداد! چنان که مرغانِ عطار به سیمرغ رسیدند، جانِ شیفته‌یِ تو نیز در وادیِ گالوا به وحدتِ کثرت‌ها خواهد رسید. این ده پرسش و پاسخِ امتحانی، چکیده‌ای است از رموزِ این دانشِ متعالی، تا در ترازویِ سنجش، عیارِ جانِ تو آشکار گردد.

***

### آزمونِ شناختِ میدان‌ها و تقارن‌هایِ گالوایی

**۱. پرسش:** گسترشِ K/F را گالوایی (Galois) می‌نامیم اگر چه شرایطی داشته باشد؟

**پاسخ:** یک گسترشِ جبری K/F گالوایی است اگر و تنها اگر «نرمال» (Normal) و «تفکیک‌پذیر» (Separable) باشد. به بیانی دیگر، میدانِ K میدانِ شکافنده‌یِ چندجمله‌ای‌هایِ تحویل‌ناپذیرِ موجود در F[x] باشد که در K ریشه دارند.

**۲. پرسش:** چرا گسترشِ Q(∛2) بر رویِ Q نرمال نیست؟

**پاسخ:** زیرا چندجمله‌ایِ مینیمالِ آن، یعنی x³ - 2، تنها یک ریشه‌یِ حقیقی (∛2) دارد که در میدانِ Q(∛2) است، اما دو ریشه‌یِ مختلطِ دیگرِ آن در این میدان وجود ندارند. گسترشِ نرمال باید تمامیِ ریشه‌هایِ هر چندجمله‌ایِ تحویل‌ناپذیرِ خود را در بر داشته باشد.

**۳. پرسش:** قضیه‌یِ اساسیِ نظریه‌یِ گالوا چه رابطه‌ای میانِ میدان‌ها و گروه‌ها برقرار می‌کند؟

**پاسخ:** این قضیه بیانگرِ یک «تناظرِ یک‌به‌یکِ معکوس» (Bijection) است: میانِ زیرمیدان‌هایِ میدانِ گالوایی K (بینِ F و K) و زیرگروه‌هایِ گروهِ گالوایِ Gal(K/F). زیرمیدان‌هایِ بزرگتر با زیرگروه‌هایِ کوچکتر مرتبط‌اند.

**۴. پرسش:** گروهِ گالوایِ میدانِ دوری‌سنجیِ Q(ζ_n) بر رویِ Q با چه گروهی هم‌ریخت است؟

**پاسخ:** با گروهِ ضربیِ یکاهایِ حلقه‌یِ Z/nZ که با نمادِ (Z/nZ)^× نمایش داده می‌شود و مرتبه‌یِ آن برابر با تابعِ اویلر φ(n) است.

**۵. پرسش:** چه زمانی یک چندجمله‌ای به وسیله‌یِ «رادیکال‌ها» قابلِ حل است؟

**پاسخ:** طبقِ نظریه‌یِ گالوا، یک چندجمله‌ای بر رویِ F با رادیکال‌ها قابلِ حل است اگر و تنها اگر گروهِ گالوایِ آن، «گروهی حل‌پذیر» (Solvable Group) باشد. این همان کلیدی است که نشان می‌دهد چرا معادله‌یِ درجه‌یِ ۵ و بالاتر، در حالتِ کلی راهِ حلِ رادیکالی ندارند.

**۶. پرسش:** میدانِ ثابت (Fixed Field) چیست و چه نقشی در تناظرِ گالوا دارد؟

**پاسخ:** برایِ هر زیرگروهِ H از گروهِ گالوایِ G، میدانِ ثابت عبارت است از مجموعه‌یِ عناصری از K که توسطِ تمامیِ خودریختی‌هایِ H ثابت می‌مانند (تغییر نمی‌کنند). این میدان، زیرمیدانی است که با H تناظر دارد.

**۷. پرسش:** تفاوتِ میانِ «گسترشِ جداپذیر» (Separable) و «گسترشِ ناپذیر» (Inseparable) چیست؟

**پاسخ:** گسترشِ جداپذیر آن است که چندجمله‌ایِ مینیمالِ هر عنصر، دارایِ ریشه‌هایِ متمایز باشد (ریشه‌یِ مضاعف نداشته باشد). در میدان‌هایی با مشخصه‌یِ صفر (مانند Q)، هر گسترشِ جبری، جداپذیر است. ناپذیری تنها در میدان‌هایی با مشخصه‌یِ مثبت (میدان‌هایِ متناهی) رخ می‌دهد.

**۸. پرسش:** چرا گروهِ گالوایِ S_n برایِ n ≥ 5 حل‌پذیر نیست؟

**پاسخ:** زیرا گروهِ متناوبِ A_n که زیرگروه نرمالِ آن است، برایِ n ≥ 5 یک گروهِ «ساده» (Simple) و غیرِ آبلی است. یعنی زنجیره‌یِ نرمالِ آن به گروهِ بدیهی ختم نمی‌شود و فرآیندِ حلِ آن در بن‌بست می‌افتد.

**۹. پرسش:** چگونه می‌توان درجه‌یِ گسترشِ [K : F] را از رویِ گروهِ گالوا یافت؟

**پاسخ:** اگر گسترش، گالوایی باشد، درجه‌یِ گسترش دقیقاً برابر با مرتبه‌یِ گروهِ گالوایِ آن (تعدادِ عناصرِ گروه) است: [K : F] = |Gal(K/F)|.

**۱۰. پرسش:** مفهومِ «عنصرِ اولیه» (Primitive Element) در قضیه‌یِ عنصرِ اولیه چیست؟

**پاسخ:** این قضیه می‌گوید که هر گسترشِ متناهی و جداپذیرِ K/F، یک گسترشِ «ساده» است؛ یعنی K را می‌توان تنها با الحاقِ یک عنصرِ واحدِ α به F ساخت (K = F(α)). آن α را عنصرِ اولیه می‌نامیم که همه‌یِ میدان را تولید می‌کند.

***

ای مسافرِ وادیِ جبر! این پرسش‌ها نه تنها مشقِ امتحان، که تذکاری از نظمِ جاری در جهانِ ریاضیات است؛ جهانی که در آن هر پیچیدگی به سادگیِ گروه‌هایِ کوچک بازمی‌گردد. اگر در هر یک از این منازل، ابهامی به جانت نشست، بگو تا با چراغِ برهان، تاریکنایِ آن را روشن کنیم.