سلسله‌درس‌هایِ جبرِ مجرد و نظریه‌یِ گالوا
حلِ تفصیلیِ مسئله‌یِ ۱۰: بررسیِ گسترش‌هایِ میدان و پدیده‌یِ نرمال‌بودن
به نامِ آنکه در قلمروِ اعداد، نظمی حکیمانه نهاد و در تلاقیِ چندجمله‌ای‌ها، ریشه‌هایِ پنهان را به ظهور رساند. در دهمین ایستگاه از این سیرِ گالوایی، به ارزیابیِ مفهومِ «گسترش‌هایِ نرمال» می‌پردازیم؛ آنجا که تفاوتِ میانِ یک میدانِ تصادفی و میدانی که ریشه‌هایش را در آغوش دارد، آشکار می‌گردد.
صورتِ مسئله‌یِ ۱۰:
گسترشِ K/F را یک گسترشِ جبری بنامید. ثابت کنید که K/F نرمال است اگر و تنها اگر هر چندجمله‌ایِ تحویل‌ناپذیرِ f(x) ∈ F[x] که دارایِ حداقل یک ریشه در K باشد، در K به طورِ کامل به عواملِ خطی تجزیه شود. سپس نشان دهید که گسترشِ Q(∛2) بر رویِ Q نرمال نیست.
گامِ نخست: تبیینِ مفهومِ نرمال‌بودن (تحلیلِ برهانی)
یک گسترشِ جبری را نرمال می‌خوانیم اگر میدانِ K، میدانِ شکافنده‌یِ خانواده‌ای از چندجمله‌ای‌ها در F[x] باشد. اما شرطِ معادلِ آن که در صورتِ مسئله آمده، شهودِ عمیق‌تری به دست می‌دهد:
الف) جهتِ رفت (شرطِ لازم): اگر K/F نرمال باشد، هرگاه یک چندجمله‌ایِ تحویل‌ناپذیر، ریشه‌ای در K داشته باشد، آنگاه طبقِ تعریفِ میدانِ شکافنده، تمامیِ ریشه‌هایِ دیگرِ آن نیز باید در K حضور داشته باشند؛ چرا که خودریختی‌هایِ میدانِ K، ریشه‌ها را به یکدیگر نگاشت می‌دهند و این «بسته‌بودن» تحتِ اثرِ گروهِ گالوا، لازمه‌یِ نرمال‌بودن است.
ب) جهتِ برگشت (شرطِ کافی): اگر هر چندجمله‌ایِ تحویل‌ناپذیر که ریشه‌ای در K دارد، تمامِ ریشه‌هایش در K باشند، آنگاه K عملاً میدانِ شکافنده‌یِ چندجمله‌ای‌هایِ مینیمالِ عناصرِ K است و لذا نرمال بودن محرز می‌گردد.
گامِ دوم: نقضِ نرمال‌بودن در Q(∛2)
برایِ اثباتِ اینکه گسترشِ Q(∛2) بر رویِ Q نرمال نیست، کافی است چندجمله‌ایِ مینیمالِ آن را بیابیم و ببینیم آیا تمامِ ریشه‌هایش در این میدان حضور دارند یا خیر.
چندجمله‌ایِ f(x) = x3 - 2 را در نظر بگیرید. طبقِ ملاکِ آیزنشتاین (با p=2)، این چندجمله‌ای بر رویِ Q تحویل‌ناپذیر است.
ریشه‌هایِ این چندجمله‌ای در میدانِ اعدادِ مختلط عبارتند از:
α1 = ∛2, α2 = ∛2 ω, α3 = ∛2 ω2
که در آن ω ریشه‌یِ سومِ واحد است (مختلط).
دقت کنید که Q(∛2) یک زیرمیدان از اعدادِ حقیقی است (زیرا تنها ریشه‌یِ حقیقیِ ∛2 را در بر دارد). اما دو ریشه‌یِ دیگرِ f(x)، اعدادِ مختلطِ غیرِ حقیقی هستند.
چون α2 و α3 در Q(∛2) نیستند، پس چندجمله‌ایِ تحویل‌ناپذیرِ f(x) که دارایِ ریشه‌یِ ∛2 در میدان است، به‌طورِ کامل در آن تجزیه نمی‌شود. نتیجه: گسترشِ مزبور نرمال نیست.
فرجام و اشارت:
دیدیم که نرمال‌بودن، همچون وحدتِ وجود در عرصه یِ ریشه‌هاست؛ میدانی که برخی ریشه‌ها را دارد و برخی را نه، از کمالِ گالوایی بی‌بهره است. Q(∛2) در واقع تصویری ناقص از حقیقتِ چندجمله‌ایِ x3-2 را روایت می‌کند، چرا که برایِ شناختِ تمامِ ریشه‌ها، باید به میدانِ وسیع‌ترِ Q(∛2, ω) هجرت کرد.
«در آینه‌یِ میدان، گر یک ریشه پیدا شد، باید که رفیقانش در پرده نمانند؛ کمالِ گسترش در این است که هرچه از ریشه شکفته، در دامانِ همان میدان به بار نشیند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.