سلسله‌درس‌هایِ جبرِ مجرد و نظریه‌یِ گالوا
حلِ تفصیلیِ مسئله‌یِ ۸: تناظرِ گالوا در ساحتِ الحاقِ دو رادیکال و گروهِ چهارگانه‌یِ کلاین
به نامِ نگارنده‌یِ نظمِ اعداد و آفریننده‌یِ تقارنِ ابعاد. در این ایستگاه از سیرِ حکمی در نظریه‌یِ گالوا، پای در اقلیمِ گسترش‌هایِ چندرادیکالی می‌نهیم؛ آنجا که دو ریشه‌یِ درجه‌دوم هم‌نشینِ یکدیگر گشته و میدانی از مرتبه‌یِ چهار برمی‌آورند تا تناظرِ بنیادینِ میانِ زیرگروه‌ها و میان‌میدان‌ها به زیباترین جلوه آشکار گردد.
صورتِ مسئله‌یِ ۸:
گسترشِ میدانیِ E = Q(√2, √3) را بر رویِ میدانِ اعدادِ گویا (Q) در نظر بگیرید.
الف) درجه‌یِ گسترشِ [E : Q] و یک پایه‌یِ فضاییِ آن را بیابید.
ب) ثابت کنید این گسترش نرمال و تفکیک‌پذیر (گالوایی) است و عناصرِ گروهِ گالوایِ Gal(E/Q) را به صراحت مشخص نمایید.
ج) ساختارِ جبریِ گروهِ گالوا را تعیین کرده و شبکه‌یِ کاملِ تناظرِ گالوا (تطابقِ زیرگروه‌ها با زیرمیدان‌هایِ ثابت) را ترسیم و اثبات کنید.
د) یک عنصرِ اولیه (Primitive Element) برایِ این گسترش ارائه دهید.
گامِ نخست: محاسبه‌یِ درجه‌یِ گسترش و ساختِ پایه‌یِ فضا
برجِ میدان‌ها را بدین نمط استوار می‌سازیم:
Q ⊆ Q(√2) ⊆ Q(√2, √3) = E
چندجمله‌ایِ مینیمالِ √2 بر رویِ Q برابر با x2 - 2 است که بنا به ملاکِ آیزنشتاین (p=2) تحویل‌ناپذیر می‌باشد؛ بنابراین:
[Q(√2) : Q] = 2
اکنون ادعا می‌کنیم که √3 ∉ Q(√2). برهانِ خُلف: اگر چنین بود، اعدادی گویا چون a, b ∈ Q یافت می‌شدند که:
(a + b√2)2 = 3 ⇒ a2 + 2b2 + 2ab√2 = 3
چون √2 گنگ است، باید 2ab = 0 باشد. اگر b = 0، آنگاه a2 = 3 که در گویایان پاسخی ندارد؛ و اگر a = 0، آنگاه 2b2 = 3 یا b2 = 3/2 که آن نیز در Q محال است. بدین‌سان، چندجمله‌ایِ x2 - 3 بر رویِ میدانِ میانیِ Q(√2) تحویل‌ناپذیر می‌ماند و داریم:
[E : Q(√2)] = 2
طبقِ قضیه‌یِ برج‌ها (Tower Law)، درجه‌یِ گسترشِ کل برابر است با:
[E : Q] = [E : Q(√2)] × [Q(√2) : Q] = 2 × 2 = 4
پایه‌یِ این فضایِ برداری بر رویِ Q از حاصل‌ضربِ پایه‌هایِ میانی به دست می‌آید:
Basis = { 1 , √2 , √3 , √6 }
گامِ دوم: اثباتِ گالوایی‌بودن و تصریحِ نگاشت‌هایِ خودریختی
میدانِ E در حقیقت میدانِ شکافنده‌یِ چندجمله‌ایِ تفکیک‌پذیرِ f(x) = (x2 - 2)(x2 - 3) ∈ Q[x] بر رویِ اعدادِ گویاست. گسترشِ حاصل، متناهی، نرمال و جداپذیر است؛ پس گسترشی گالوایی است و مرتبه‌یِ گروهِ گالوا دقیقاً برابر با درجه‌یِ گسترش است:
|Gal(E/Q)| = [E : Q] = 4
هر خودریختی چون σ ∈ Gal(E/Q) باید ریشه‌ها را به ریشه‌هایِ همان چندجمله‌ای بفرستد؛ یعنی:
σ(√2) ∈ { √2, -√2 } , σ(√3) ∈ { √3, -√3 }
از تلفیقِ این دو انتخابِ مستقل، چهار نگاشتِ خودریختی پدیدار می‌شود:
• id : √2 → √2 , √3 → √3 (نگاشت همانی)
• σ1 : √2 → -√2 , √3 → √3
• σ2 : √2 → √2 , √3 → -√3
• σ3 : √2 → -√2 , √3 → -√3 (ترکیب σ1 ∁ σ2)
گامِ سوم: ساختارِ گروه و شبکه‌یِ تناظرِ بنیادین (Galois Correspondence)
مشاهده می‌شود که توانِ دومِ هر سه عضوِ غیرهمانی، نگاشتِ همانی است:
σ12 = σ22 = σ32 = id
از این رو، گروهِ گالوا گروهی دوری نیست، بلکه هم‌ریخت با گروهِ چهارگانه‌یِ کلاین (Klein 4-group) است:
Gal(E/Q) ≅ V4 ≅ Z2 × Z2
بنا به قضیه‌یِ بنیادینِ گالوا، میانِ زیرگروه‌هایِ این گروه و زیرمیدان‌هایِ E شاملِ Q، تناظری یک‌به‌یک و معکوس‌کننده‌یِ شمول برقرار است. زیرگروه‌هایِ مرتبه‌یِ ۲ و میدان‌هایِ ثابتِ متناظرِ آنها (Fixed Fields) به صورتِ زیر معین می‌گردند:
| زیرگروه (H) | مرتبه‌ی زیرگروه |H| | میدانِ ثابت متناظر (EH) | درجه بر Q |
|---|---|---|---|
| { id } | ۱ | Q(√2, √3) | ۴ |
| H1 = { id, σ1 } | ۲ | Q(√3) | ۲ |
| H2 = { id, σ2 } | ۲ | Q(√2) | ۲ |
| H3 = { id, σ3 } | ۲ | Q(√6) | ۲ |
| G = Gal(E/Q) | ۴ | Q | ۱ |
توضیحِ ثبوتِ Q(√6): نگاشتِ σ3 هرچند √2 و √3 را قرینه می‌سازد، اما حاصل‌ضربِ آنها را بی‌گزند نگاه می‌دارد:
σ3(√6) = σ3(√2)σ3(√3) = (-√2)(-√3) = √6.
گامِ چهارم: تعیینِ عنصرِ اولیّه (Primitive Element)
بر طبقِ قضیه‌یِ عنصرِ اولیه، چون این گسترش متناهی و تفکیک‌پذیر است، تک‌عنصری چون θ هست که تمامِ میدان را به تنهایی پدید آورد. عنصرِ مطلوب را θ = √2 + √3 برمی‌گزینیم.
با اِعمالِ چهار عضوِ گروهِ گالوا بر θ، چهار تصویرِ متمایز پدید می‌آید:
{ √2 + √3 , -√2 + √3 , √2 - √3 , -√2 - √3 }
چون مدارِ این عنصر تحتِ عملِ گروهِ گالوا دارایِ ۴ عضو است، پس چندجمله‌ایِ مینیمالِ آن از درجه‌یِ ۴ بوده و عبارت است از:
mθ(x) = (x2 - (√2 + √3)2)(x2 - (√2 - √3)2) = (x2 - 5 - 2√6)(x2 - 5 + 2√6) = (x2 - 5)2 - 24 = x4 - 10x2 + 1
بنابراین [Q(√2 + √3) : Q] = 4 و لاجرم:
Q(√2, √3) = Q(√2 + √3)
فرجام و شهودِ حکمی:
در این تجلیِ چهاروجهی، دریافتیم که چگونه دوگانگیِ ریشه‌ها در استقلالِ خویش، شبکه‌ای متقارن از سه میان‌میدان می‌سازند؛ و آنگاه که پیوندشان در کالبدِ یک عنصر (√2 + √3) جلوه‌گر می‌شود، کثرتِ ظاهری در وحدتِ جبریِ درجه‌یِ چهارم مستهلک می‌گردد.
«چو در میدانِ کثرت پا نهادی، نظر بر باطنِ پیوند وا کن؛ میانِ زیرگروه و زیرمیدان، بقایِ جاودانِ نظم بین.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.