حلِ تفصیلیِ مسئله‌یِ ۶: شکوهِ هندسیِ گروهِ گالوایِ چندجمله‌ایِ f(x) = x 2 Q/h2>

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه یکم مهر ۱۴۰۵ | 6:5

درس‌نامه‌یِ جبرِ مجرد و نظریه‌یِ گالوا

حلِ تفصیلیِ مسئله‌یِ ۶: شکوهِ هندسیِ گروهِ گالوایِ چندجمله‌ایِ f(x) = x⁴ - 2 بر Q

صورتِ مسئله:

چندجمله‌ایِ f(x) = x⁴ - 2 ∈ Q[x] را در نظر بگیرید.

الف) میدانِ شکافنده‌یِ (Splitting Field) این چندجمله‌ای را بر رویِ اعدادِ گویا بیابید.

ب) درجه‌یِ این گسترش را بر میدانِ پایه‌یِ Q محاسبه نمایید.

ج) خودریختی‌هایِ گروهِ گالوا را تصریح نموده و ثابت کنید که این گروه با گروهِ دووجهیِ مرتبه‌یِ هشت (D₄، گروهِ تقارن‌هایِ مربع) هم‌ریخت است.

گامِ نخست: استخراجِ ریشه‌ها و کالبدِ میدانِ شکافنده

ریشه‌هایِ مختلطِ معادله‌یِ x⁴ - 2 = 0 با قرار دادنِ ریشه‌یِ چهارمِ حقیقی یعنی α = 2^1/4 و یکایِ موهومی i عبارتند از:

            { α , -α , iα , -iα }
        

اگر ریشه‌هایِ α و iα را در اختیار داشته باشیم، نسبتِ آن‌ها برابر با (iα) / α = i خواهد بود. از این رو میدانِ شکافنده‌یِ E از الحاقِ هم‌زمانِ ریشه‌یِ حقیقی و یکایِ موهومی حاصل می‌شود:

            E = Q(21/4, i)
        

گامِ دوم: زنجیره‌یِ برجِ میدان‌ها و محاسبه‌یِ درجه‌یِ گسترش

{ α , -α , iα , -iα }

            E = Q(21/4, i)
        

گامِ دوم: زنجیره‌یِ برجِ میدان‌ها و محاسبه‌یِ درجه‌یِ گسترش

برجِ الحاقیِ زیر را در نظر می‌گیریم:

            Q ⊆0 0 8px 0;">
            بنا به قضیه‌یِ برجِ ابعاد (Tower Law):
        
            [E : Q] = [E : Q(21/4)] × [Q(21/4) : Q] = 2 × 4 = 8
        
            از آنجا که E میدانِ شکافنده‌یِ یک چندجمله‌ای در مشخصه‌یِ صفر است، گسترش گالوایی بوده و در نتیجه مرتبه‌یِ گروهِ گالوا دقیقاً برابر است با:
            |Gal(E/Q)| = 8.

گامِ سوم: ساختِ مولدهایِ گروه و رفتارِ خودریختی‌ها

هر خودریختیِ میدانِ E با تعیینِ اثرِ آن بر دو مولدش یعنی α و i کاملاً یکتا می‌گردد. دو خودریختیِ بنیادینِ زیر را تعریف می‌کنیم:

۱. خودریختیِ دَوَرانی (σ):

                σ(α) = iα    ,    σ(i) = i
            

با تکرارِ عمل می‌بینیم:

σ²(α) = -α ،

σ³(α) = -iα و

σ⁴(α) = α.

بنابراین σ از مرتبه‌یِ ۴ است.

۲. خودریختیِ بازتابی یا مزدوج (τ):

                τ(α) = α    ,    τ(i) = -i
            

روشن است که τ² = e، یعنی τ از مرتبه‌یِ ۲ است.

گامِ چهارم: رابطه‌یِ ساختاری و هم‌ریختی با گروهِ دووجهی D₄

اکنون اثرِ ترکیب‌هایِ τσ و σ^-1τ را بر مولدها می‌سنجیم:

بر ریشه‌یِ موهومی: (τσ)(i) = τ(i) = -i و (σ^-1τ)(i) = σ^-1(-i) = -i

بر ریشه‌یِ حقیقی: (τσ)(α) = τ(iα) = τ(i)τ(α) = -iα و از سویِ دیگر (σ^-1τ)(α) = σ^-1(α) = -iα

مشاهده می‌شود که رابطه‌یِ نامتعامد و مشهورِ زیر دقیقاً برقرار است:

            τ ο σ = σ-1 ο τ  ⇔  τστ = σ-1
        

این دقیقاً نمایشِ متقدمِ گروهِ دووجهیِ مرتبه‌یِ هشت (D₄) است:

            Gal(Q(21/4, i)/Q) = ⟨ σ, τ | σ4 = e, τ2 = e, τσ = σ-1τ ⟩ ≅ D4
        

تعبیرِ هندسیِ ریشه‌ها بر صفحه‌یِ مختلط:

چهار ریشه‌یِ معادله، رئوسِ یک مربعِ متقارن بر صفحه‌یِ ارگاند هستند. خودریختیِ σ چرخشِ ۹۰ درجه‌ایِ مربع و خودریختیِ τ بازتابِ آینه‌ایِ آن نسبت به محورِ افقی است. نظریه‌یِ گالوا پرده از این حقیقت برمی‌دارد که جبرِ میدانِ شکافنده، آینه‌دارِ تمام‌نمایِ تقارن‌هایِ هندسیِ مربع است!

«چهار رأسِ مربع در ساحتِ اعداد، رقصی ز تقارنِ هشت‌گانه در میدان پدیدار ساختند.»

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی