درسنامهیِ جبرِ مجرد و نظریهیِ گالوا
حلِ تفصیلیِ مسئلهیِ ۵: حلپذیری با رادیکالها و قضیهیِ نامیرایِ آبل–روفینی
صورتِ مسئله:
الف) مفهومِ «حلپذیری با رادیکالها» (Solvability by Radicals) را بر پایهیِ گسترشهایِ رادیکالی تبیین نمایید.
ب) قضیهیِ بنیادینِ گالوا در بابِ حلپذیریِ معادلات را بیان کرده و ثابت کنید چندجملهایِ درجهیِ پنجِ f(x) = 2x5 - 10x + 5 بر رویِ میدانِ اعدادِ گویا (Q) بهوسیلهیِ رادیکالها قابلِ حل نیست.
گامِ نخست: ساحتِ گسترشهایِ رادیکالی و گروههایِ حلپذیر
یک معادله زمانی با رادیکالها حلپذیر است که ریشههایِ آن درونِ یک گسترشِ رادیکالی جای گیرند؛ زنجیرهای از میدانها بهصورتِ زیر:
Q = K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ ... ⊆ Km = E
بهگونهای که هر گام با افزودنِ ریشهیِ یک عنصر ساخته شود:
Ki+1 = Ki(αi) که در آن αini ∈ Ki.
قضیهیِ شاهکارِ گالوا: معادلهیِ چندجملهایِ f(x) = 0 با رادیکالها حلپذیر است اگر و تنها اگر گروهِ گالوایِ میدانِ شکافندهیِ آن (Gal(E/Q)) یک گروهِ حلپذیر (Solvable Group) باشد؛ یعنی زنجیرهای از زیرگروههایِ نرمال با عواملِ خارجقسمتیِ آبلی و دوری داشته باشد.
گامِ دوم: اثباتِ تحویلناپذیریِ f(x) بر رویِ Q
چندجملهایِ مفروض برابر است با:
f(x) = 2x5 - 10x + 5
عددِ اولِ p = 5 را در نظر میگیریم:
- ضریبِ پیشرو: 5 ∤ 2
- سایرِ ضرایب: 5 | 0 ، 5 | -10 و 5 | 5
- جملهیِ ثابت: 52 = 25 ∤ 5
بنا به ملاکِ آیزنشتاین (Eisenstein's Criterion)، چندجملهایِ f(x) بر رویِ اعدادِ گویا (Q) تحویلناپذیر است. از این رو، درجهیِ گسترش بر ریشهیِ دلخواهِ α برابر با ۵ است و طبقِ قضیهیِ لاگرانژ:
5 | |Gal(E/Q)|. بنا به قضیهیِ کوشی، گروهِ گالوا عنصری از مرتبهیِ ۵ (یک تبدیلِ دوریِ ۵-تایی مانندِ σ = (1 2 3 4 5)) دارد.
گامِ سوم: شمارشِ ریشههایِ حقیقی و حضورِ جابجایی (Transposition)
برای یافتنِ نقاطِ عطف و اکسترممِ تابع، مشتقِ اولِ آن را بررسی میکنیم:
f'(x) = 10x4 - 10 = 10(x4 - 1) = 10(x2 - 1)(x2 + 1)
مشتق تنها دارای دو ریشهیِ حقیقی است: x = -1 و x = 1. مقادیرِ تابع در این دو نقطه عبارتند از:
- در x = -1: مقدارِ تابع برابر با f(-1) = -2 + 10 + 5 = 13 > 0 (ماکسیممِ نسبی)
- در x = 1: مقدارِ تابع برابر با f(1) = 2 - 10 + 5 = -3 < 0 (مینیممِ نسبی)
با توجه به رفتارهایِ حدی (x → ±∞) و تغییرِ علامتِ اکسترممها، نمودارِ تابع دقیقاً در سه نقطه محورِ طولها را قطع میکند. بنابراین:
تعدادِ ریشههایِ حقیقی = 3 , تعدادِ ریشههایِ موهومی (مزدوج) = 2
خودریختیِ مزدوجِ مختلط (Complex Conjugation)، سه ریشهیِ حقیقی را ثابت نگه داشته و دو ریشهیِ موهومی را به یکدیگر مینگارد؛ این نگاشت دقیقاً یک تبدیلِ جابجایی (Transposition) ۲-تایی نظیرِ τ = (a b) در گروهِ گالوا تولید میکند.
گامِ چهارم: فروریختن در گروهِ متقارنِ S5
بنا به یک قضیهیِ بنیادین در نظریهیِ گروهها:
«هر زیرگروهِ جایگشتی از Sp (برای عددِ اولِ p) که شاملِ یک دورِ p-تایی و یک جابجاییِ ۲-تایی باشد، لزوماً کلِ گروهِ متقارنِ Sp است.»
چون گروهِ گالوایِ چندجملهایِ ما شاملِ دَوَرانی از مرتبهیِ ۵ و یک جابجاییِ ۲-تایی است، بیدرنگ درمییابیم:
Gal(E/Q) ≅ S5
تنها زیرگروهِ نرمال و سرهیِ S5، گروهِ متناوبِ A5 است که گروهی ساده (Simple) و غیرِ آبلی است. در نتیجه:
گروهِ S5 حلپذیر نیست.
حکمِ پایانی (قضیهیِ آبل–روفینی):
از آنجا که گروهِ گالوایِ چندجملهایِ f(x) = 2x5 - 10x + 5 برابر با S5 بوده و این گروه نامحلول (غیرِ حلپذیر) است، ریشههایِ این معادله هرگز در قالبِ هیچ فرمولِ جبریِ متناهی متشکل از چهار عملِ اصلی و رادیکالها بیانشدنی نیستند.
«چون رتبهیِ تقارن به پنج رسد و دایره بسته نگردد، زنجیرِ رادیکالها گسسته شود و سرِّ معادله ناگشوده ماند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.