درس‌نامه‌یِ جبرِ مجرد و نظریه‌یِ گالوا
حلِ تفصیلیِ مسئله‌یِ ۳: تناظرِ زیرمیدان‌هایِ میدان‌هایِ متناهی و زیرگروه‌هایِ گالوا
صورتِ مسئله:
فرض کنید E = GF(pn) میدانی متناهی با pn عضو و میدانِ پایه‌یِ آن F = Zp باشد.
ثابت کنید به ازایِ هر مقسوم‌علیهِ d از n (d | n)، دقیقاً یک زیرمیدانِ منحصر‌به‌فرد از E به مرتبه‌یِ pd وجود دارد؛ و برعکس، هر زیرمیدان از E الزاماً دارایِ مرتبه‌ای به فرمِ pd است که در آن d | n.
گامِ نخست: ضرورتِ مقسوم‌علیهیِ درجه‌ها (برهانِ تحدید)
فرض کنید K زیرمیدانی دلخواه از E باشد. از آنجا که F = Zp ⊆ K، مشخصه‌یِ میدانِ K نیز برابر با p است؛ از این رو مرتبه‌یِ آن توانی از p خواهد بود، یعنی برایِ عددی طبیعی مانند d داریم:
[K : F] = d ⇒ |K| = pd
از سویی دیگر، بنا بر فرمولِ پایه‌ایِ انباشتِ درجه‌هایِ گسترش (Tower Law):
[E : F] = [E : K] * [K : F]
چون [E : F] = n و [K : F] = d است، نتیجه می‌شود که n = [E : K] * d؛ بنابراین به حکمِ عقل و حساب، بی‌تردید d | n خواهد بود.
گامِ دوم: وجودِ زیرمیدان با ساختارِ چندجمله‌ای‌ها
حال فرض کنید d مقسوم‌علیهی دلخواه از n باشد (n = k * d).
یک لمِ جبریِ بنیادین بیان می‌کند که اگر d | n، آنگاه:
(pd - 1) | (pn - 1)
در نتیجه، چندجمله‌ایِ xpd - 1 - 1 در حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌ها، چندجمله‌ایِ xpn - 1 - 1 را عاد می‌کند. با ضربِ یک عاملِ x در طرفین:
(xpd - x) | (xpn - x)
این بخش‌پذیری بدین معناست که هر ریشه‌یِ چندجمله‌ایِ xpd - x، خود الزماً ریشه‌یِ xpn - x نیز هست. از آنجا که عناصرِ میدانِ E دقیقاً ریشه‌هایِ این چندجمله‌ایِ دوم هستند، تمامیِ pd ریشه‌یِ معادله‌یِ نخست درونِ E جای دارند و طبقِ مسئله‌یِ ۱ تشکیلِ یک زیرمیدان به مرتبه‌یِ pd می‌دهند.
گامِ فرجامین: یگانگی از منظرِ قضیه‌یِ اساسیِ گالوا
طبقِ مسئله‌یِ ۲، می‌دانیم که گروهِ گالوایِ این گسترش، یک گروهِ دوری از مرتبه‌یِ n است:
G = Gal(E/F) ≅ Zn
از نظریه‌یِ گروه‌ها می‌دانیم که در هر گروهِ دوریِ متناهی، به ازایِ هر مقسوم‌علیهِ مرتبه‌یِ گروه، دقیقاً و منحصراً یک زیرگروه وجود دارد. یعنی به ازایِ هر d | n، گروهِ G دقیقاً دارایِ یک زیرگروه به مرتبه‌یِ n/d (و در نتیجه با هم‌اندیسِ d) است که توسطِ عنصرِ (σp)d تولید می‌شود:
Hd = < (σp)d > ≤ G , |Hd| = n / d
به مقتضایِ قضیه‌یِ اساسیِ نظریه‌یِ گالوا، میانِ زیرمیدان‌هایِ میانی و زیرگروه‌هایِ گروهِ گالوا تناظری یک‌به‌یک (دوگان) برقرار است:
Kd = Inv(Hd) = { a ∈ E | ∀ σ ∈ Hd : σ(a) = a }
چون زیرگروهِ Hd در گروهِ دوری منحصر‌به‌فرد است، زیرمیدانِ پایا و متناظرِ با آن (Kd) نیز کاملاً یکتا خواهد بود. مرتبه‌یِ این زیرمیدان برابر است با:
[Kd : F] = [G : Hd] = n / (n / d) = d ⇒ |Kd| = pd
«چون عدد به پیمانه‌یِ بخش‌پذیری راست آید، زیرمیدان‌ها آینه‌دارِ نظمِ دوریِ زیرگروه‌ها گردند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.