ریاضیات

• ۱ و ۲. مبنا و تبدیل: فضایِ دوبعدیِ R2 را با دو بردارِ واحد (1,0) و (0,1) می‌شناسیم. دورانِ ۹۰ درجه‌یِ یک بردار، با ماتریسِ [[0, -1], [1, 0]] بیان می‌شود؛ یعنی بردارِ (1,0) به (0,1) بدل می‌گردد.

• ۳. براکتِ لی: اگر میدانِ X مشتق نسبت به x باشد و Y مشتق نسبت به y، آنگاه براکتِ این دو [X, Y] برابر با صفر است، که نشان‌دهنده‌یِ جابه‌جایی‌پذیریِ حرکت در راستایِ محورهاست.

• ۴. فرم‌هایِ دیفرانسیلی: فرمِ ω = x dy - y dx بسته است (مشتقِ خارجی‌اش صفر است)، اما در صفحه‌یِ بدونِ مبدأ، دقیق نیست؛ چرا که انتگرالِ آن رویِ دایره‌یِ واحد برابر با 2π است، نه صفر!

• ۵. قضیه‌یِ استوکس: در صفحه‌یِ ساده، قضیه‌یِ گرین: مساحتِ دایره‌یِ واحد را می‌توان با یک انتگرالِ خطیِ ساده از فرمِ 1/2 * (x dy - y dx) حولِ محیطِ دایره به دست آورد.

• ۶. گسترشِ میدان: میدانِ Q(√2) را در نظر بگیرید. هر عنصرِ آن به شکلِ a + b√2 است که a و b عددی گویا هستند. درجه‌یِ این گسترش ۲ است.

• ۷. گروهِ متقارن S3: این گروه شاملِ ۶ عضو است: جایگشت‌هایِ سه عددِ 1, 2, 3. مثلاً جایگشتِ (12) که جایِ 1 و 2 را عوض می‌کند، و (123) که جایگشتِ چرخشی است.

• ۸. تناظرِ گالوا: برایِ معادله‌یِ x2 - 2 = 0، گروهِ گالوا تنها دو عضو دارد (همانی و مزدوج‌گیری). این تناظر نشان می‌دهد که تنها زیرمیدانِ میانی، خودِ میدانِ اعدادِ گویاست.

• ۹. میدانِ دوری‌سنجی: چندجمله‌ایِ Φ3(x) = x2 + x + 1. ریشه‌هایِ آن -1/2 ± i√3/2 هستند. این میدان شاملِ ریشه‌هایِ سومِ واحد است.

• ۱۰. حل‌پذیری: معادله‌یِ x5 - 6x + 3 = 0. به کمکِ معیارِ آیزنشتاین و تحلیلِ گروهِ گالوایِ آن (که S5 است)، اثبات می‌شود که ریشه‌هایِ آن با رادیکال‌هایِ ساده قابلِ بیان نیستند.

«اعداد، زبانِ خاموشِ کائنات‌اند که در این مثال‌ها به سخن درآمده‌اند.»