ریاضیات

۱. منیفلدِ توپولوژیک: منیفلدِ n-بعدی را تعریف کنید و بگویید چرا وجودِ «اطلس» و «نگاشت‌هایِ انتقال» برایِ داشتنِ ساختارِ دیفرانسیلی امری حیاتی است؟

۲. فضایِ مماس: فضایِ مماس در نقطه‌یِ p (T_pM) را به عنوانِ فضایِ «مشتق‌گیرها» (Derivations) توصیف کنید و نشان دهید چگونه مشتقِ جهتی در این قالب تعریف می‌شود.

۳. براکتِ لی: میدان‌هایِ برداریِ X و Y را در نظر بگیرید. براکتِ لی [X, Y] چه معنایی در عدمِ جابه‌جاییِ جریان‌ها دارد و پیوند آن با مکانیکِ کوانتوم چیست؟

۴. بستگی و دقت: تفاوتِ میانِ «فرمِ بسته» و «فرمِ دقیق» چیست؟ به کمکِ لمِ پوانکاره توضیح دهید که چه رابطه میانِ نبودِ حفره و دقیق بودنِ فرم وجود دارد.

۵. قضیه‌یِ استوکس: صورتِ کلیِ قضیه‌یِ استوکس را بیان کنید و نقشِ آن را در پیوندِ میانِ درونِ حجم و مرزِ آن شرح دهید.

۶. گسترش‌هایِ میدانی: گسترشِ میدانیِ ساده و متناهی را تعریف کنید. شرایطِ تشکیلِ یک «گسترشِ گالوا» چیست؟

۷. زیرگروه‌هایِ نرمال: در گروهِ متقارنِ S_n، چرا گروهِ متناوبِ A_n یک زیرگروه نرمال محسوب می‌شود؟

۸. ایده‌آلِ ماکسیمال: در حلقه‌یِ چندجمله‌ای‌ها، ایده‌آلِ ماکسیمال چه ویژگی‌ای دارد و چه ارتباطی با تشکیلِ میدانِ خارج‌قسمتی برقرار می‌کند؟

۹. قضیه‌یِ اصلیِ گالوا: این قضیه چگونه تقارنِ میانِ زیرمیدان‌ها و زیرگروه‌هایِ گالوا را به تصویر می‌کشد؟

۱۰. پرسشِ ترکیبی (سنتز): توضیح دهید چگونه گروهِ بنیادی (Fundamental Group) یک فضا، ما را در کشفِ حفره‌ها و کوهومولوژیِ دِ-رام یاری می‌دهد؟

«پاسخ به این پرسش‌ها، گامی است در جهتِ تسخیرِ قله‌هایِ ریاضیاتِ عالی. در نوشته‌هایِ آینده، پاسخِ تک‌تکِ این مسائل را به بحث خواهیم نشست.»