دفتر دوم: هندسه دیفرانسیل و منیفلدها
تکاپوی بردارها در آستانهٔ انحنا؛ پیدایش فضای مماس و مشتق‌گیری موضعی
روایتی تحلیلی و آهنگین از نگاشت‌های دیفرانسیلی بر منیفلد هموار
چون بسترِ منیفلد از ائتلافِ اطلس‌های سازگار استوار گشت و هر نقطه به چشم‌اندازی موضعی از فضای اقلیدسی آراسته شد، وقتِ آن فرامی‌رسد که به بررسی تغییرات بپردازیم. بر سطحی که شاید در مقیاس کلی انحنا دارد و دستخوش پیچ‌وتاب است، «بردار مماس» چیست و چگونه می‌توان آهنگ دگرگونی یک تابع را در راستای یک جهت سنجید؟
۱. بردار مماس به مثابه سرعتِ یک گذر (دیدگاه منحنی‌ها)
فرض کنید M یک منیفلد هموار n-بعدی باشد و نقطه p بر پهنهٔ آن قرار گیرد. ساده‌ترین راه برای درک جهت در نقطه p، تصور ذره‌ای است که در امتداد یک مسیر هموار حرکت می‌کند.
اگر γ یک خم هموار از بازه‌ای باز در اعداد حقیقی مانند (-ε, ε) به درون منیفلد M باشد چنان‌که ذره در لحظه صفر در نقطه p حاضر باشد، در هر کارت مختصاتی موضعی، این مسیر با n مولفه مختصاتی بیان می‌شود. بردار سرعت این ذره در لحظه گذر از p، مفهومی هندسی از بردار مماس به دست می‌دهد. اما برای آنکه تعریفْ وابسته به محیط پیرامونی نباشد و به ذاتِ منیفلد متکی گردد، ریاضی‌دانان مفهومی بس عمیق‌تر به نام مشتق‌گیری (Derivation) را برگزیده‌اند.
۲. بردار مماس به مثابه مشتق‌گیری جبری (قاعده لایبنیتس)
مجموعه تمام توابع هموار حقیقی‌مقدار روی همسایگی نقطه p را با Cinfinity(p) نشان می‌دهیم. یک «بردار مماس» در نقطه p، عملگری خطی مانند X است که به هر تابع هموار، یک عدد حقیقی نسبت می‌دهد و در قاعده لایبنیتس (قاعده ضرب مشتق) صدق می‌کند:
X(f · g) = f(p) · X(g) + g(p) · X(f)
این خاصیت زیبا، جوهرهٔ بردار مماس را از قید هندسه تصویری آزاد ساخته و آن را به یک «عملگر تغییرات» محض بدل می‌سازد. مجموع تمام این عملگرهای مشتق‌گیری در نقطه p، یک فضای برداری واقعی تشکیل می‌دهند که آن را فضای مماس در نقطه p نامیده و با نماد TpM نشان می‌دهند.
۳. ساختار پایه و بعد فضای مماس
اگر کارت مختصاتی موضعی با مختصات‌های (x1, x2, ..., xn) را در همسایگی نقطه p در نظر بگیریم، عملگرهای مشتق جزئی در نقطه p که با نمادهای:
∂/∂x1 |p , ∂/∂x2 |p , ... , ∂/∂xn |p
نمایش داده می‌شوند، یک پایه برای فضای برداری TpM می‌سازند. از این رو:
- بعد فضای مماس TpM دقیقاً برابر با بعد منیفلد (یعنی n) است.
- هر بردار مماس مانند X را می‌توان به صورت ترکیب خطی یگانه‌ای از این عملگرهای پایه نوشت:
X = v1 (∂/∂x1) + v2 (∂/∂x2) + ... + vn (∂/∂xn)
ضرایب vi مولفه‌های بردار در این دستگاه مختصات هستند که تحت تبدیل کارت‌ها، بر اساس قانون مشتق زنجیره‌ای (ماتریس ژاکوبی) تغییر شکل می‌دهند.
۴. کلاف مماس (Tangent Bundle): خانهٔ تمام بردارها
اگر فضاهای مماس در تک‌تک نقاط منیفلد M را مانند رشته‌هایی در کنار یکدیگر گرد آوریم و اجتماع منفصل آنها را در نظر بگیریم، فضایی نو پدید می‌آید که کلاف مماس یا TM نام دارد:
TM = اجتماعِ تمامِ فضاهای TpM به ازای تمامی نقاط p در M
کلاف مماس خود یک منیفلد هموار از بعد 2n است (n بعد برای مشخص‌کردن نقطه روی منیفلد و n بعد برای تعیین راستای بردار در فضای مماس). این ساختار، بستر طبیعی فرمول‌بندی مکانیک تحلیلی، معادلات دیفرانسیل و سیستم‌های دینامیکی در فیزیک نظری است.
«بردار، تنها تیری در فضای مسطح نیست؛ بلکه آهنگِ زنده‌ای است از جنبشِ یک مفهوم روی پوستینِ حقیقتِ منیفلد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.