نظریه گالوا — بخش سیزدهم: گروه‌های حل‌پذیر و قضیه شافارویچ
پس از اثبات تحقق گروه‌های آبلی و گروه متقارن بر روی میدان اعداد گویا (ℚ)، اکنون به رده‌ی میانی گروه‌های متناهی یعنی گروه‌های حل‌پذیر می‌پردازیم. این گروه‌ها در نظریه گالوا جایگاه ویژه‌ای دارند، چرا که با زنجیره‌ای از توسیع‌های آبلیِ متوالی ساخته می‌شوند.
۱. تعریف گروه حل‌پذیر
گروه متناهی G را حل‌پذیر گوییم هرگاه یک زنجیره نرمال زیر وجود داشته باشد:
1 = G0 ⊆ G1 ⊆ ... ⊆ Gn = G
به طوری که هر گروه خارج‌قسمتی (Gi+1 / Gi) یک گروه آبلی باشد. معادلِ این تعریف، رسیدن به گروه واحد از طریق زنجیره مشتق (Derived Series) است.
۲. مسئله تعبیه (Embedding Problem)
هسته اصلی در اثبات شافارویچ، مفهوم مسئله تعبیه است. فرض کنید L/ℚ یک توسیع گالوایی با گروه گالوای H باشد. اگر یک توسیع مرکزی (Central Extension) از گروه‌ها داشته باشیم:
1 → A → G → H → 1
مسئله این است که آیا می‌توان توسیع L/ℚ را به توسیع بزرگتری مانند K/ℚ تعمیم داد به طوری که Gal(K/ℚ) ≅ G باشد؟ شافارویچ با استفاده از نظریه اعداد و همولوژی گروه‌ها اثبات کرد که این مسئله در مورد گروه‌های حل‌پذیر همیشه دارای پاسخ مثبت است.
۳. صورت قضیه شافارویچ
قضیه (شافارویچ، ۱۹۵۴): هر گروه متناهی حل‌پذیر، به عنوان گروه گالوای توسیعی بر میدان اعداد گویا (ℚ) قابل تحقق است.
۴. گام‌های اثبات (خلاصه تحلیلی)
- تجزیه به p-گروه‌ها: هر گروه حل‌پذیر متناهی را می‌توان به صورت یک سری نرمال نوشت که در آن فاکتورها p-گروه هستند. لذا مسئله به تحقق p-گروه‌ها تقلیل می‌یابد.
- استقرا روی مرتبه گروه: با فرض اینکه گروهی با مرتبه کمتر محقق شده است، باید با حل یک مسئله تعبیه، گروهی بزرگتر ساخت.
- استفاده از میدان‌های دایره‌بُرد و کوهومولوژی: در اثبات شافارویچ، از این واقعیت استفاده می‌شود که توسیع‌های آبلی بر ℚ در میدان‌های دایره‌بُرد (سیکلوتومیک) نهفته‌اند (قضیه کرونکر-وبر). با استفاده از کوهومولوژی گروهی و نظریه کلاس میدان‌ها (Class Field Theory)، نشان داده می‌شود که موانعِ تعبیه (Obstructions) همگی در ℚ محو می‌شوند.
«گروه‌های حل‌پذیر، پل‌های میان ساختارهای ساده و پیچیده در قلب نظریه گالوا هستند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.