ریاضیات

۱. گام نخست؛ پی‌ریزی طبقهٔ میانی

کار را با افزودن نخستین گنگ، یعنی √2 به ساحتِ گویا آغاز می‌کنیم. چندجمله‌ایِ x² − 2 به آسانی نشان می‌دهد که در میدان گویا ریشه‌ای ندارد و تحویل‌ناپذیر است؛ پس درجهٔ گسترش طبقهٔ نخست برابر ۲ می‌شود: [Q(√2) : Q] = 2. در این طبقه، هر عنصر صورتی چون a + b√2 دارد و پایهٔ متناظر، زوجِ {1, √2} است.

۲. گام دوم؛ آزمون بیگانگی و اثبات به برهان خلف

آیا افزودن √3 هوای تازه‌ای به این میدان می‌دمد، یا او خود از پیش در دلِ Q(√2) پنهان بوده است؟ با برهان خلف فرض می‌کنیم √3 = a + b√2 باشد. با به توان دو رساندن به رابطهٔ 3 = a² + 2b² + 2ab√2 می‌رسیم. چون √2 عددی اصم و ناگویاست، ضریب آن باید محو شود (ab = 0)؛ اما صفر شدن هر یک از ضرایب به معادلاتی چون a² = 3 یا 2b² = 3 ختم می‌شود که هیچ پاسخی در اعداد گویا ندارند. این تناقض آشکار می‌سازد که √3 در این طبقه نمی‌گنجد؛ پس چندجمله‌ایِ x² − 3 روی این میدان نیز تحویل‌ناپذیر می‌ماند و درجهٔ طبقهٔ دوم نیز برابر ۲ است.

۳. گام نهایی؛ ثمرهٔ قضیه برج و ظهور چهارگانهٔ پایه

طبق قانون ضرب درجات در برج‌های میدانی، درجهٔ کل گسترش حاصل‌ضرب درجات طبقات است:

[Q(√2, √3) : Q] = [Q(√2, √3) : Q(√2)] × [Q(√2) : Q] = 2 × 2 = 4
پایهٔ این فضای برداری چهاربُعدی، از ضربِ اعضای پایه‌های میانی پدید می‌آید و عبارت است از دستهٔ چهارگانهٔ:


{ 1 , √2 , √3 , √6 }
بدین ترتیب هر عدد از این اقلیم، ترکیبی خطی و منحصربه‌فرد از این چهار ستون خواهد بود: c₀ + c₁√2 + c₂√3 + c₃√6.