دفتر نخست: درجاتِ گسترش و تقارن چندجمله‌ای‌ها (مسائل ۱ تا ۳)
«نظریه گالوا، سماعِ تقارن ریشه‌ها در بارگاه میدان‌هاست.»
مسئله ۱: درجه و پایهٔ گسترش میدانی Q(√2, √3) بر Q
صورت مسئله: میدان K = Q(√2, √3) را در نظر بگیرید. درجهٔ گسترش [K : Q] و یک پایه برای آن به عنوان فضای برداری روی Q بیابید.
پاسخ تشریحی:
- چندجمله‌ای مینیمال √2 بر روی Q برابر x2 - 2 است، بنابراین [Q(√2) : Q] = 2 با پایهٔ {1, √2}.
- عنصر √3 در Q(√2) قرار ندارد (زیرا اگر √3 = a + b√2 باشد، با به توان دو رساندن به تناقض می‌رسیم). پس چندجمله‌ای مینیمال √3 روی Q(√2) برابر x2 - 3 است و درجهٔ [K : Q(√2)] = 2 می‌باشد.
- طبق قضیه برج گسترش‌ها (Tower Law):
[K : Q] = [K : Q(√2)] × [Q(√2) : Q] = 2 × 2 = 4 - پایهٔ گسترش حاصل‌ضرب اعضای پایه‌هاست: {1, √2, √3, √6}.
مسئله ۲: میدان شکافندهٔ x3 - 2 روی Q
صورت مسئله: میدان شکافندهٔ چندجمله‌ای f(x) = x3 - 2 را روی Q به دست آورده و گروه خودریختی‌های آن را توصیف کنید.
پاسخ تشریحی:
- ریشه‌های معادله در C عبارتند از: √[3]{2} (ریشه حقیقی) و دو ریشهٔ مختلط ω√[3]{2} و ω2√[3]{2} که در آن ω = e2πi/3 ریشهٔ سوم یکه است.
- بنابراین میدان شکافنده برابر است با: E = Q(√[3]{2}, ω).
- چون [Q(√[3]{2}) : Q] = 3 و ω ریشهٔ x2 + x + 1 است و در میدان حقیقی نمی‌گنجد ([E : Q(√[3]{2})] = 2)، درجهٔ کل میدان شکافنده برابر 6 = 2 × 3 است.
- گروه گالوا دارای ۶ عضو بوده و هر خودریختی ریشه‌ها را جایگشت می‌دهد. از آنجا که این گروه آبلی نیست، هم‌ریخت با گروه متقارن S3 است.
مسئله ۳: تبعیض‌گر و گروه گالوای چندجمله‌ای‌های درجه ۳
صورت مسئله: فرض کنید f(x) یک چندجمله‌ای تحویل‌ناپذیر درجه ۳ با تبعیض‌گر (Discriminant) Δ باشد. ساختار گروه گالوای آن را تعیین کنید.
پاسخ تشریحی:
- گروه گالوای یک چندجمله‌ای تحویل‌ناپذیر درجه ۳، زیرگروهی ترایا از S3 است؛ پس یا A3 ≅ Z3 (مرتبه ۳) است یا S3 (مرتبه ۶).
- عنصر δ = √Δ حاصل‌ضرب تفاضل ریشه‌هاست و تحت جایگشت‌های زوج (A3) ثابت مانده و تحت فردها تغییر علامت می‌دهد.
- حالت اول: اگر Δ در میدان پایه مربع کامل باشد (δ ∈ F)، گروه گالوا برابر با A3 است.
- حالت دوم: اگر Δ مربع کامل نباشد، گروه گالوا برابر با کلِ S3 خواهد بود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.