حل تفصیلی مسئله دوم: تبعیض‌گر و رازِ گروه متناوب
صورت مسئله: نشان دهید گروه گالوایِ یک چندجمله‌ای، زیرگروهی از گروه متناوب An است اگر و تنها اگر «تبعیض‌گر» (Discriminant) آن چندجمله‌ای، در میدان پایه یک مربعِ کامل باشد.
۱. مفهوم تبعیض‌گر و جذر آن
تبعیض‌گر Δ(f) از حاصل‌ضرب مربعاتِ تفاوت میان تمامی ریشه‌های چندجمله‌ای ساخته می‌شود. اگر جذرِ این مقدار را با δ نمایش دهیم (حاصل‌ضرب تفاضل ریشه‌ها)، رابطهٔ Δ(f) = δ2 همواره برقرار خواهد بود.
۲. کنشِ تقارن‌ها روی جذر تبعیض‌گر
هر خودریختی در گروه گالوا، ریشه‌ها را جابه‌جا می‌کند. اگر این جابه‌جا کردن متناظر با یک «جایگشت زوج» باشد، علامتِ δ ثابت می‌ماند؛ و اگر متناظر با یک «جایگشت فرد» باشد، علامتِ آن معکوس شده و به −δ تبدیل می‌شود.
۳. اثبات دوطرفهٔ قضیه
الف) اگر گروه گالوا درون An باشد، همهٔ تبدیلات زوج‌اند، پس علامتِ δ تغییر نمی‌کند و خودِ آن در میدانِ گویا مستقر می‌شود؛ در نتیجه تبعیض‌گر مربعِ کامل خواهد بود.
ب) برعکس، اگر تبعیض‌گر مربعِ کامل باشد، عنصرِ δ متعلق به میدانِ پایه است و تحت هیچ خودریختی‌ای علامت عوض نمی‌کند؛ پس هیچ‌گونه جایگشتِ فردی در گروه گالوا حضور نخواهد داشت و کلِ گروه در قلمروِ An جای می‌گیرد.
۴. نتیجهٔ اشراقی
این آزمون به ما اجازه می‌دهد پیش از گشودنِ ریشه‌ها، تنها با یک محاسبه‌ی جبری ساده روی ضرایب (محاسبه‌ی تبعیض‌گر)، بفهمیم که آیا تقارن‌های حاکم بر سیستم از نوعِ همساز (زوج) هستند یا ناهمساز.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.