ریاضیات

۱. ریشه‌های نخستین و تابع اویلر

چندجمله‌ای xⁿ − 1 دارای n ریشه در پهنهٔ اعداد مختلط است. ریشه‌ای را «نخستین» می‌نامیم که مولد این گروه دوری باشد؛ یعنی به هیچ توان کمتری از n برابر با ۱ نشود. این ریشه‌ها دقیقاً متناظر با توان‌هایی هستند که نسبت به n اول‌اند (ک.م.م آن‌ها با n برابر ۱ است). شمارِ این عناصر برابر با φ(n) است.

۲. چندجمله‌ای دایره‌ای Φ_n(x)

چندجمله‌ای دایره‌ای Φ_n(x) از حاصل‌ضرب عواملی تشکیل می‌شود که ریشه‌های آن‌ها دقیقاً همان ریشه‌های نخستین هستند. از این رو درجهٔ این چندجمله‌ای برابر با φ(n) است و تمام ضرایب آن اعدادی صحیح می‌باشند.

۳. اثبات تحویل‌ناپذیری بر روی Q

اگر فرض کنیم Φ_n(x) تجزیه‌پذیر باشد و چندجمله‌ای کمینهٔ ζ_n برابر با f(x) باشد، با به‌کارگیری قضیهٔ فروبنیوس در میدان‌های متناهی با مشخصهٔ اول p (به شرط آنکه p مقسوم‌علیه n نباشد)، مشخص می‌شود که اگر f(x) بر Φ_n(x) منطبق نباشد، چندجمله‌ای xⁿ − 1 در مشخصهٔ p دارای ریشهٔ مکرر خواهد شد؛ در حالی که مشتق آن یعنی n·xⁿ⁻¹ در این مشخصه ریشهٔ مشترکی با آن ندارد. این تناقض نشان می‌دهد که Φ_n(x) بر روی Q کاملاً تحویل‌ناپذیر است.

۴. نتیجهٔ نهایی

چون Φ_n(x) چندجمله‌ای کمینهٔ ریشهٔ نخستین بر روی اعداد گویاست، درجهٔ گسترش برابر با درجهٔ چندجمله‌ای کمینه خواهد بود:

[Q(ζ_n) : Q] = deg(Φ_n(x)) = φ(n)

همچنین این گسترش، نرمال و جداپذیر (گالوایی) بوده و گروه گالوای آن آبلی و با گروه ضربی (Z/nZ)^× هم‌ریخت است.