ریاضیات

۶. مرتبهٔ گروهِ گالوا

پرسش: چنانچه درجهٔ گسترش برابر با [K : F] = n باشد، مرتبهٔ گروهِ گالوا یعنی |Gal(K/F)| چه اندازه‌ای دارد؟

پاسخ: اندازهٔ آن همواره حداکثر برابر با n است؛ و تنها زمانی که گسترش از نوعِ گالوایی (جداپذیر و نرمال) باشد، اندازهٔ گروه دقیقاً با درجهٔ گسترش برابر می‌شود: |Gal(K/F)| = n.

۷. میدانِ ثابت (Fixed Field)

پرسش: میدانِ ثابتِ نگاشتِ «مزدوجِ مختلط» بر پهنهٔ اعدادِ مختلط C کدام است؟

پاسخ: میدانِ اعدادِ حقیقی R؛ زیرا نگاشتِ مزدوج، بخشِ حقیقی را دست‌نخورده بر جای می‌گذارد و علامتِ بخشِ موهومی را وارونه می‌کند (a + bi → a − bi)، پس تنها اعدادی پایدار می‌مانند که بخش موهومی‌شان صفر باشد.

۸. رازِ انسداد در درجهٔ ۵

پرسش: چرا معادلهٔ کلیِ درجهٔ پنج با ترکیبی از رادیکال‌ها گشوده نمی‌شود؟

پاسخ: به سبب آنکه گروهِ تقارن‌هایِ آن یعنی S₅ دارای زیرگروهی ساده و غیرجابه‌جایی به نام A₅ است که به زنجیرهٔ حل‌پذیر تجزیه نمی‌شود؛ از این رو بیانِ ریشه‌ها در چارچوبِ رادیکال‌ها ناممکن می‌گردد.

۹. تناظرِ بنیادینِ زیرگروه‌ها و میدان‌ها

پرسش: اگر گروهِ گالوایِ یک گسترش، گروهِ جایگشتیِ S₃ باشد، چند میدانِ میانی در میان است؟

پاسخ: بر اساسِ قضیهٔ اساسی گالوا، ۴ میدانِ میانیِ حقیقی وجود دارد؛ متناظر با ۳ زیرگروه از مرتبهٔ ۲، و یک زیرگروه نرمال از مرتبهٔ ۳ (گروه متناوب A₃).

۱۰. میدانِ شکافنده (Splitting Field)

پرسش: میدانِ شکافنده برای چندجمله‌ایِ x⁴ − 2 بر رویِ Q چیست؟

پاسخ: میدانِ Q(⁴√2, i)؛ چرا که چهار ریشهٔ این چندجمله‌ای عبارتند از: ⁴√2+ و ⁴√2− و i⁴√2+ و i⁴√2−. بنابراین برای پدیدار شدنِ تمامیِ ریشه‌ها، پیوستنِ هم‌زمانِ ریشهٔ چهارمِ ۲ و یکهٔ موهومیِ i ضروری است.