ریاضیات

۱. درجهٔ گسترش

پرسش: درجهٔ گسترشِ Q(√2, √3) بر روی میدانِ اعدادِ گویا Q چقدر است؟

پاسخ: برابر با ۴ است؛ زیرا این میدان از پیوندِ دو بسط با درجهٔ ۲ پدید آمده که از یکدیگر استقلال دارند و هیچ‌یک در قلمروِ دیگری نمی‌گنجد: [Q(√2, √3) : Q] = [Q(√2, √3) : Q(√2)] × [Q(√2) : Q] = ۲ × ۲ = ۴.

۲. چندجمله‌ایِ کمینه

پرسش: چندجمله‌ایِ کمینه برای عنصرِ α = ³√2 (ریشهٔ سومِ ۲) بر رویِ Q چیست؟

پاسخ: چندجمله‌ایِ x³ − 2. این عبارت، ریشه را در دل دارد و بر اساسِ معیارِ آیزنشتاین با عددِ اولِ p = ۲، بر میدانِ گویا تحویل‌ناپذیر و یگانه است.

۳. معیارِ گالوایی بودن

پرسش: آیا گسترشِ Q(³√2) بر Q یک گسترشِ گالوا به شمار می‌رود؟

پاسخ: خیر؛ زیرا گسترشِ گالوا نیازمندِ نرمال بودن است و باید تمامیِ هم‌ریشه‌ها را در بر گیرد. در اینجا تنها ریشهٔ حقیقی حضور دارد و دو ریشهٔ دیگر که آمیخته با بخشِ مختلط هستند (یعنی ³√2 · ω و ³√2 · ω²) در بیرونِ این میدان جای مانده‌اند.

۴. تقارن و تبدیلِ ریشه‌ها

پرسش: گروهِ گالوایِ چندجمله‌ایِ x² − 2 بر میدانِ Q از چه اعضایی شکل یافته است؟

پاسخ: گروهی دو عضوی (C₂ یا Z₂) متشکل از نگاشتِ همانی، و نگاشتی که √2 را به قرینه‌اش یعنی ‎−√2 روانه می‌سازد.

۵. هم‌ریختیِ ساختارها

پرسش: آیا دو میدانِ Q(√2) و Q(√3) به عنوان میدان هم‌ریخت (ایزومورف) هستند؟

پاسخ: خیر؛ هرچند هر دو بُعدی برابر با ۲ دارند، اما در اوّلی عنصری وجود دارد که مربعِ آن برابرِ ۲ می‌شود، در حالی که در دوّمی هیچ عنصری یافت نمی‌شود که مربعش ۲ باشد. از این رو، جوهر و ساختارِ این دو میدان ناهمگون است.