ریاضیات

۶. مرتبه‌یِ گروهِ گالوا

پرسش: اگر $[K:F] = n$ باشد، مرتبه‌یِ گروهِ گالوا $|Gal(K/F)|$ چقدر است؟

پاسخ: حداکثر $n$. اگر گسترش گالوا باشد، دقیقاً برابر با $n$ است.

۷. میدانِ ثابت

پرسش: میدانِ ثابتِ نگاشتِ «مزدوجِ مختلط» در $\mathbb{C}$ چیست؟

پاسخ: میدانِ اعدادِ حقیقی ($\mathbb{R}$). این نگاشت، اعدادِ حقیقی را ثابت نگه می‌دارد و اعدادِ مختلط را به مزدوجشان می‌برد.

۸. دیوارِ ۵

پرسش: چرا معادلاتِ درجه ۵ (عمومی) با رادیکال حل نمی‌شوند؟

پاسخ: چون گروهِ گالوایِ آن‌ها $S_5$ است و $S_5$ یک گروهِ «ساده» ($A_5$) در دلِ خود دارد که «حل‌پذیر» نیست. این، مرزِ تواناییِ زبانِ رادیکال است.

۹. تناظرِ گالوا

پرسش: اگر گروهِ گالوایِ یک گسترش، گروهِ $S_3$ باشد، چند میدانِ میانی دارد؟

پاسخ: ۴ میدانِ میانی. (مطابقِ زیرگروه‌هایِ $S_3$؛ یک زیرگروه نرمالِ مرتبه ۳، سه زیرگروه مرتبه ۲، به علاوه‌یِ میدانِ پایه و میدانِ کل).

۱۰. انکشافِ حقیقت

پرسش: میدانِ شکافنده‌یِ $x^4 - 2$ بر رویِ $\mathbb{Q}$ چیست؟

پاسخ: $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)$. برایِ ساختنِ این میدان، هم باید ریشه‌یِ چهارمِ ۲ را داشته باشیم (برایِ $x^4-2=0$) و هم واحدِ موهومی $i$ را (برایِ ریشه‌هایِ دیگر).