سلوک در میدان‌ها: پنج گامِ نخست
ای سالک، در این منزل می‌خواهیم با ابزارهایِ ساده، تارهایِ عنکبوتیِ پیچیدگیِ معادلات را از هم بگسلیم. این پنج مسئله، الفبایِ درکِ «گسترشِ میدان‌ها»ست.
۱. درجه‌یِ گسترش
پرسش: درجه‌یِ گسترشِ $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ بر رویِ $\mathbb{Q}$ چقدر است؟
پاسخ: ۴. زیرا این میدان، حاصلِ ترکیبِ دو گسترشِ درجه ۲ است که با هم «مستقل» هستند (هیچ‌کدام در دیگری نیست).
۲. چندجمله‌ایِ کمینه
پرسش: چندجمله‌ایِ کمینه برایِ $\alpha = \sqrt[3]{2}$ بر رویِ $\mathbb{Q}$ چیست؟
پاسخ: $x^3 - 2$. چون این چندجمله‌ای بر $\mathbb{Q}$ تحویل‌ناپذیر است (به حکمِ آیزنشتاین) و ریشه‌یِ موردِ نظر را در خود دارد.
۳. آیا این گسترش گالوا است؟
پرسش: آیا گسترشِ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ بر $\mathbb{Q}$ یک گسترشِ گالواست؟
پاسخ: خیر. گسترشِ گالوا باید «نرمال» باشد، یعنی تمامِ ریشه‌هایِ چندجمله‌ایِ کمینه را در خود داشته باشد. اینجا فقط ریشه‌یِ حقیقی داریم و ریشه‌هایِ مختلط ($2^{1/3}\omega$) غایبند.
۴. تقارنِ ریشه‌ها
پرسش: گروهِ گالوایِ چندجمله‌ایِ $x^2 - 2$ بر $\mathbb{Q}$ چیست؟
پاسخ: گروهی متشکل از دو عضو (همانی و نگاشتِ $\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}$). این همان گروهِ $C_2$ است.
۵. ایزومورفیسمِ میدان‌ها
پرسش: آیا $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ با $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ به عنوانِ میدان ایزومورف است؟
پاسخ: خیر. اگرچه هر دو درجاتِ یکسانی دارند، اما در اولی، عددِ $\sqrt{2}$ مربعِ کامل در میدان است (عضوِ میدان است) و در دومی، عددِ $\sqrt{3}$ مربعِ کامل است. این دو ساختارِ متفاوتی دارند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.