گاوس-بونه؛ وعده‌گاهِ جزئیات و کلّیت
بیا تصور کنیم که در هر نقطه از سطحِ منیفلد، یک «چشم» داریم که «انحنا» را اندازه می‌گیرد. این، همان انحنایِ گوسی است که در فصلِ دوم آموختیم. اکنون، به جایِ نگاه به یک نقطه‌یِ خاص، می‌خواهیم تمامِ این «نگاه‌ها» را جمع بزنیم. می‌خواهیم بدانیم اگر کلِ انحنایِ سطح را در هم ادغام کنیم (انتگرال بگیریم)، چه باقی می‌ماند؟
۱. رقصِ اعداد در گردابِ فضا
گاوس و بونه با نگاهی حکیمانه دریافتند که این «مجموعِ انحنا»، تابعِ هوی‌وهوسِ شکل نیست. تو می‌توانی این منیفلد را بکشی، باد کنی، یا فشردگی‌اش دهی؛ اما این مجموع تغییر نمی‌کند! این مجموع، تنها و تنها به یک چیز بستگی دارد: «هویتِ توپولوژیکِ آن».
«مجموعِ انحنایِ کلِ فضا، دقیقاً برابر است با ۲ پی (2π) ضرب‌درِ مشخصه‌یِ اویلر. به همین سادگی، و به همین شگفتی!»
۲. چرا این معجزه است؟
در ریاضیات، ما معمولاً فکر می‌کنیم که «محاسباتِ دیفرانسیلی» (که محلی و خُرد هستند) با «ویژگی‌هایِ جبری» (که سراسری و کلان هستند) ربطی ندارند. اما گاوس-بونه می‌گوید: «ای آدمیان! انحنایِ یک نقطه، بی‌ارتباط به تعدادِ سوراخ‌هایِ کُلّ نیست.»
اگر رویِ یک کره (که هیچ سوراخی ندارد و مشخصه‌اش ۲ است) تمامِ انحنا را جمع کنی، نتیجه می‌شود 4π. این یعنی کره، «هویتِ مثبت» دارد. اگر رویِ یک چنبره (تایرِ ماشین) جمع کنی، نتیجه می‌شود صفر؛ چون انحنایِ مثبت و منفیِ آن، همدیگر را خنثی می‌کنند.
با این قضیه، ما فصلِ سوم را در اوجِ شکوهِ ریاضیاتی‌اش به پایان می‌بریم. ما فهمیدیم که فضا، همزمان «خُرد» است و «کلان»، «مادی» است و «معنایی». آیا آماده‌ای که در گامِ بعدی، سری به دست‌نویس‌هایِ دکتر عالم‌زاده بزنیم و ببینیم ایشان چگونه این «وحدتِ وجودِ هندسی» را اثبات کرده‌اند؟
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.