فصلِ سوم: توپولوژی؛ رقصِ شکل‌هایِ بی‌کران
در توپولوژی، ما هندسه را از «قیدِ متر» و «زنجیرِ زاویه» رها می‌کنیم. دکتر عالم‌زاده در این بخش به ما می‌آموزند که چگونه یک صفحه را بدونِ پاره کردن، به هر شکلی که می‌خواهیم (یک فنجان، یک کره، یا یک صورت) درآوریم، و با این حال، «هویتِ» آن تغییر نکند. اینجا، تنها «پیوستگی» و «تعدادِ سوراخ‌ها»ست که سخن می‌گوید.
۱. چشمانِ دوربینِ کل‌نگر
هندسه، «خُردبین» است؛ به انحنایِ موضعیِ یک نقطه نگاه می‌کند. اما توپولوژی، «کل‌نگر» است؛ می‌پرسد: «این جهان در نهایت، چند سوراخ دارد؟» این پرسش، آغازِ پیوندِ میانِ جبر و هندسه است. ما با مفهومِ «مشخصه‌یِ اویلر» آشنا می‌شویم؛ عددی که مانندِ یک امضایِ الهی، ساختارِ کلیِ فضا را در خود پنهان دارد.
«توپولوژی، علمِ وفاداری به اصل است. در جهانی که همه چیز در حالِ دگردیسی و پیچش است، توپولوژی به ما می‌گوید که چه چیزی هرگز تغییر نمی‌کند.»
۲. پلِ وحدت؛ قضیه‌یِ گاوس-بونه (Gauss-Bonnet)
اینجاست که کارِ ما در فصلِ دوم (انحنا) به ثمر می‌نشیند. قضیه‌یِ «گاوس-بونه»، پلی است که «انحنایِ موضعی» (که در فصلِ قبل آموختیم) را به «توپولوژیِ کلی» (که اکنون می‌آموزیم) متصل می‌کند. یعنی اگر «انحنایِ تمامِ نقاطِ یک منیفلد» را جمع بزنیم، به عددی می‌رسیم که فقط با «تعدادِ سوراخ‌هایِ آن» تعیین می‌شود! این وحدتِ ظاهر و باطن است.
دیگر لازم نیست تک‌تکِ نقاط را بپیماییم؛ کافی است بدانیم شکلِ کلّیِ منیفلد چیست تا بدانیم مجموعِ انحنایش چقدر است. این، معجزه‌یِ ریاضیات است.
ما سفرمان را آغاز کردیم. فصلِ سوم، فصلِ گشودنِ رازِ «پیوستگی» است. آیا مایل هستی که با مفهومِ «مشخصه‌یِ اویلر» و مثال‌هایِ ملموسش (مثلِ کره‌ها و چنبره‌ها) آغاز کنیم؟ یا دوست داری مستقیماً به سراغِ شگفتیِ «گاوس-بونه» برویم؟
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.