ریاضیات

1. 
   ورودی: چندجمله‌ای f(x) ∈ F[x] به‌طوری‌که deg(f) ∈ {2, 3}.
   


2. 
   تعیین نامزدهای ریشه در F:
   
   
   
   • حالت میدان گویا (&Q;): اگر f(x) ∈ &Z;[x] باشد، با قضیه ریشه گویا نامزدهای r/s را تعیین می‌کنیم (r مقسوم‌علیه جمله ثابت و s مقسوم‌علیه ضریب پیشرو).
   
   
   • حالت میدان متناهی (&Z;_p): تمام اعضای متناهی {0, 1, ..., p-1} بررسی می‌شوند.
   
   
   
   


3. 
   ارزیابی مقادیر f(c): به ازای هر نامزد c ∈ F، مقدار عددی f(c) محاسبه می‌گردد.
   


4. 
   تصمیم‌گیری (Decision Rule):
   
   
   
   • اگر هیچ عنصری یافت نشد که f(c) = 0، آنگاه f(x) بر روی F تحویل‌ناپذیر است.
   
   
   • اگر عنصری یافت شد که f(c) = 0، آنگاه f(x) تحویل‌پذیر بوده و (x - c) یک عامل قطعی آن است.
   
   
   
   

1. 
   ورودی: چندجمله‌ای تکین f(x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₀ ∈ &Z;[x].
   


2. 
   انتخاب عدد اول مناسب p: انتخاب p چنان‌که p ضریب پیشرو را عاد نکند (تا درجه کاهش نیابد؛ یعنی deg(f̄) = deg(f)).
   


3. 
   تصویر چندجمله‌ای در &Z;_p[x]:
   تقلیل ضرایب به پیمانه p به کمک هم‌ریختی کانونیک:
   
   
   f̄(x) = xⁿ + [a_n-1]_px^n-1 + ... + [a₀]_p ∈ &Z;_p[x]
   
   
   


4. 
   بررسی تحویل‌ناپذیری در فضای متناهی &Z;_p:
   سنجش ریشه‌ها و عوامل با درجه‌های کمتر در میدان متناهی &Z;_p (که به دلیل متناهی بودن، به سادگی قابل آزمون است).
   


5. 
   نتیجه‌گیری:
   
   
   
   • اگر f̄(x) در &Z;_p[x] تحویل‌ناپذیر شد ⇐ f(x) در &Q;[x] حتماً تحویل‌ناپذیر است.
   
   
   • اگر تحویل‌پذیر شد، الگوریتم به نتیجه قطعی نرسیده و باید عدد اول p دیگری آزموده شود.
   
   
   
   

نکته مهم درجات بالاتر:

توجه شود که الگوریتم اول (آزمون ریشه) تنها برای درجات ۲ و ۳ کفایت می‌کند؛ برای چندجمله‌ای‌های درجه ۴ به بالا، نداشتن ریشه لزوماً به معنای تحویل‌ناپذیری نیست (زیرا ممکن است چندجمله‌ای به حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ای درجه ۲ تجزیه شود) و در آن شرایط الگوریتم دوم (کاهش پیمانه‌ای) یا آزمون ضرایب نامعین به کار گرفته می‌شود.