ریاضیات

۱. هم‌ریختی ارزیابی (Evaluation Homomorphism)

اگر E یک میدان توسیع از F باشد و α ∈ E، نگاشت ارزیابی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

• این نگاشت یک هم‌ریختی حلقه‌ها (Ring Homomorphism) است.
• تصویر نگاشت (Im φ_α): کوچک‌ترین زیرحلقه‌ی شامل F و α است که با F[α] نشان داده می‌شود.

۲. ساختار هسته نگاشت: دوراهی جبری یا متعالی

هسته‌ی این هم‌ریختی مجموعه‌ی تمام چندجمله‌ای‌هایی است که α ریشه‌ی آن‌هاست:

• حالت اول (عنصر متعالی): اگر Ker(φ_α) = {0} باشد، α را متعالی (Transcendental) بر روی F می‌نامند و F[α] ≅ F[x].

• حالت دوم (عنصر جبری): اگر Ker(φ_α) ≠ {0} باشد، α را جبری (Algebraic) بر روی F می‌گویند.

۳. چندجمله‌ای کمینه و قضیه اول یک‌ریختی

چون F[x] یک حوزه آرمانی اصلی (PID) است، هر ایده‌آل توسط یک تک‌مولد تولید می‌شود:

1. ایده‌آل هسته توسط چندجمله‌ای تکین (Monoc) و تحویل‌ناپذیر p(x) تولید می‌شود:

   Ker(φ_α) = ⟨p(x)⟩ = p(x) · F[x]

   به این چندجمله‌ای، چندجمله‌ای کمینه (Minimal Polynomial) عضو α روی F می‌گویند.

2. چون p(x) تحویل‌ناپذیر است، ایده‌آل ⟨p(x)⟩ یک ایده‌آل ماکسیمال است؛ بنابراین حلقه خارج‌قسمتی F[x] / ⟨p(x)⟩ حتماً یک میدان است.

3. طبق قضیه اول یک‌ریختی حلقه‌ها:

   F[x] / ⟨p(x)⟩ ≅ Im(φ_α) = F[α] = F(α)

   این یک‌ریختی نشان می‌دهد که برای عناصر جبری، حلقه حاصل از الحاق (F[α]) خود یک میدان است (F(α)).

خلاصه طلایی در یک نگاه